quad9/electrodinamica/homework/hw3/main.tex

\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[catalan]{babel}
\input{../../../hw_preamble.tex}

\usepackage{biblatex}
\addbibresource{referencies.bib}

\title{Entrega 4 de problemes\\Electrodinàmica}
\author{Adrià Vilanova Martínez}
\date{26 d'octubre, 2021}

\showcorrectionsfalse % Change "true" to "false" in order to show corrections as
                      % if they weren't corrections (in black instead of red).

\newcommand{\X}{\mathbf{X}}
\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}

\begin{document}

\maketitle

\begin{FreeProblem}
  \textbf{Problema II.3.} Demostreu:

  \begin{enumerate}[a)]
    \item $\X, \Y$ vectors tipus-temps orientats al futur $\implies \X + \Y$ també ho és.
    \item $\left.\begin{array}{r}
      \X \text{ tipus temps}, \\
      \exists \Y \neq 0 \text{ tq } \X \cdot \Y = 0
    \end{array}\right\} \implies \Y \text{ és de tipus temps}.$
  \end{enumerate}
\end{FreeProblem}

\textbf{Solució per a):} \\
$\X, \Y$ són vectors tipus-temps, així que tenim:
\[ \begin{cases}
  \X^2 = \X \cdot \X = X_\nu Y^\nu > 0 \implies (X^0)^2 - (X^1)^2 - (X^2)^2 - (X^3)^2 > 0, \\
  \Y^2 = \Y \cdot \Y = Y_\nu Y^\nu > 0 \implies (Y^0)^2 - (Y^1)^2 - (Y^2)^2 - (Y^3)^2 > 0. \\
\end{cases} \]

A més, com $\X, \Y$ estan enfocats al futur:
\[ \begin{cases}
  X^0 > 0, \\
  Y^0 > 0.
\end{cases} \]

Per tant:
\[ (\X + \Y) \cdot (\X + \Y) = (\X + \Y)_\nu (\X + \Y)^\nu = (X_\nu + Y_\nu) (X_\nu + Y_\nu) = \]
\[ = \underbrace{X_\nu X^\nu}_{> 0} + X_\nu Y^\nu + X^\nu Y_\nu + \underbrace{Y_\nu X^\nu}_{> 0} > 2 X_\nu Y^\nu = 2 \X \cdot \Y. \]

Ara ens agradaria veure que $\X \cdot \Y \leq 0$ sota la mètrica de Minkoswki per acabar la demostració.

\[ \left.\begin{array}{r}
  X_\nu X^\nu > 0, \\
  X^0 > 0
\end{array}\right\} \implies X^0 > \sqrt{(X^1)^2 + (X^2)^2 + (X^3)^2} = ||\vec{X}^i||, \]
on designem per $|| \cdot ||$ la norma euclidiana que resulta de considerar el vector que té com a components les 3 darreres components del quadrivector (és a dir, la part espaial).

Anàlogament, tenim que $Y^0 > ||\vec{Y}^i||$.

Aleshores:
\[ \X \cdot \Y = X^0 Y^0 - X^1 Y^1 - X^2 Y^2 - X^3 Y^3 > || \vec{X}^i || \, || \vec{Y}^i || - (\vec{X}^i, \vec{Y}^i), \]
on denotem per $(\vec{u}_1, \vec{u}_2)$ el producte escalar euclidià, de nou de la part espaial dels quadrivectors.

Finalment, considerem dos casos:

\begin{itemize}
  \item \underline{Si $(\vec{X}^i, \vec{Y}^i) \leq 0$}: aleshores tenim trivialment $\X \cdot \Y > || \vec{X}^i || \, || \vec{Y}^i || - (\vec{X}^i, \vec{Y}^i) \geq 0$.

  \item \underline{Si $(\vec{X}^i, \vec{Y}^i) > 0$}: aleshores $(\vec{X}^i, \vec{Y}^i) = |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)|$, i apliquem la desigualtat de Cauchy-Schwarz amb el producte escalar i norma euclidianes, fet que ens dona que:
  \[ \X \cdot \Y > || \vec{X}^i || \, || \vec{Y}^i || - |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \notate[X]{{}\geq{}}{0.7}{\scriptstyle \text{Cauchy-Schwarz}} 0. \]
  \qed
\end{itemize}

\textbf{Solució per b):} \\
$\X$ és de tipus temps, així que $\X^2 > 0$. A més, tenim $\X \cdot \Y = 0$. Volem veure que $\Y^2 < 0$.

Demostrem-ho per reducció a l'absurd. Suposem que $\Y^2 \geq 0$. Si arribem a una contradicció, això vol dir que el que hem suposat era fals i, per tant, haurem demostrat el que volíem.

Amb la notació de l'apartat anterior, tenim:
\[ \X \cdot \Y = X^0 Y^0 - X^1 Y^1 - X^2 Y^2 - X^3 Y^3 = X^0 Y^0 - (\vec{X}^i, \vec{Y}^i). \]

Separem diversos casos, tot i que utilitzarem el mateix argument (exceptuant petits detalls) per tots ells excepte el darrer:

\begin{itemize}
  \item \underline{Si $X^0 > 0, Y^0 > 0$}: \\
  En aquest cas, $X^0 Y^0 > 0$. Per ser $\X$ de tipus temps ($\X^2 > 0$) i $\Y^2 \geq 0$ per hipòtesi, raonant com a l'apartat (a) tenim:
  \[ \begin{cases}
    X^0 > \sqrt{(X^1)^2 + (X^2)^2 + (X^3)^2} = || \vec{X}^i ||, \\
    Y^0 \geq \sqrt{(Y^1)^2 + (Y^2)^2 + (Y^3)^2} = || \vec{Y}^i ||
  \end{cases} \]
  i, per tant:
  \[ X^0 Y^0 > || \vec{X}^i || || \vec{Y}^i || \notate[X]{{}\geq{}}{0.7}{\scriptstyle \text{Cauchy-Schwarz}} |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \implies \]
  \[ \implies X^0 Y^0 \neq |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \implies \]
  \[ \implies \X \cdot \Y = X^0 Y^0 - (\vec{X}^i, \vec{Y}^i) \neq 0. \]

  Per tant, hem arribat a una contradicció, ja que una de les hipòtesis inicials era que $\X \cdot \Y = 0$.

  \item \underline{Si $X^0 > 0, Y^0 < 0$}: \\
  Seguint el mateix argument que en el cas anterior, tenim:
  \[ \left.\begin{array}{r}
    X^0 Y^0 < 0, \\
    X^0 > || \vec{X}^i ||, \\
    - Y^0 \geq || \vec{Y}^i ||.
  \end{array}\right\} \implies - X^0 Y^0 > |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \implies \X \cdot \Y \neq 0. \]

  Per tant, de nou, arribem a una contradicció.

  \item \underline{Si $X^0 < 0, Y^0 > 0$}: \\
  Utilitzant de nou el mateix argument, però canviant alguns signes:
  \[ \left.\begin{array}{r}
    X^0 Y^0 < 0, \\
    - X^0 > || \vec{X}^i ||, \\
    Y^0 \geq || \vec{Y}^i ||.
  \end{array}\right\} \implies - X^0 Y^0 > |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \implies \X \cdot \Y \neq 0. \]

  De nou, arribem a contradicció.

  \item \underline{Si $X^0 < 0, Y^0 < 0$}: \\
  I finalment, aplicant per 4t cop el mateix raonament:
  \[ \left.\begin{array}{r}
    X^0 Y^0 > 0, \\
    - X^0 > || \vec{X}^i ||, \\
    - Y^0 \geq || \vec{Y}^i ||.
  \end{array}\right\} \implies X^0 Y^0 > |(\vec{X}^i, \vec{Y}^i)| \implies \X \cdot \Y \neq 0. \]

  En aquest cas, com no podria ser d'una altra manera, també arribem a una contradicció.

  \item \underline{Si $X^0 = 0$ o bé $Y^0 = 0$}: \\
  Suposem $X^0 = 0$ (el mateix argument funciona amb $\Y$, s'explica en el següent paràgraf). Aleshores, $\X^2 = \cancel{(X^0)^2} - (X^1)^2 - (X^2)^2 - (X^3)^2 \leq 0$, que vol dir que $\X$ no és de tipus temps. Això es contradiu amb la hipòtesi que els vectors són de tipus temps!

  Suposem $Y^0 = 0$. En el cas de $\Y$, hem suposat que era o de tipus temps, o de tipus llum ($\Y^2 \geq 0$). Si suposem que és de tipus temps, pel raonament anterior hem vist que arribem a contradicció. Però si suposem que és de tipus llum, aleshores tenim $\Y^2 = 0, Y^0 = 0 \implies \Y = 0$. Però per la hipòtesi de l'enunciat, $\Y \neq 0$ i, per tant, també hem arribat a contradicció.

  Aquest raonament ens ha portat a descobrir que un vector de tipus temps no pot tenir mai la coordenada 0-èssima (temporal) igual a 0.
\end{itemize}

Per tant, això queda demostrat per reducció a l'absurd, ja que hem trobar una contradicció per cadascun dels casos, i això ens diu que $\Y^2 \geq 0$ és fals, és a dir, que $\Y^2 < 0$, que és el que volíem veure. \qed

\end{document}