blob: 344c418c69512cd47de03133112eeb0a3c1f49f9 [file] [log] [blame]
Adrià Vilanova Martínezf5b22a12021-11-03 02:13:17 +01001% !TEX root = main.tex
2\chapter{Relativitat especial}
3
4\section{Introducció}
5
6\begin{defi}[Sistema de Referència Inercial]
7 Un \underline{sistema de referència inercial} (SRI) és un sistema de referència tal que:
8 \begin{enumerate}[a)]
9 \item Les relacions espacials són les de l'espai euclidià $E_3$.
10 \item Hi ha un temps universal mesurat per rellotges a cada punt del SRI respecte del cual $\frac{\dif \vec{x}}{\dif t} = \text{const.}$ per partícules lliures (1a llei de Newton).
11 \end{enumerate}
12\end{defi}
13
14\begin{defi}[Axiomes de la relativitat especial]
15 Axiomes de la relativitat especial:
16 \begin{enumerate}
17 \item Les lleis de la física són les mateixes a tots els SRI.
18 \item Principi de la constància de la velocitat de la llum. $\exists$ al menys 1 SRI en el qual els raigs de la llum es propagen a velocitat $c$ en moviment rectilini independentment de la direcció i velocitat de la font.
19 \end{enumerate}
20\end{defi}
21
22\begin{col}
23 L'espai és homogeni i isòtrop, i el temps és homogeni. A més, la llum viatja a velocitat $c$ a tots els SRI (llei d'Einstein).
24\end{col}
25
26\begin{defi}[Esdeveniment]
27 Un \underline{esdeveniment} és un punt en l'espai-temps que en un sistema de referència donat té coordenades $x^\mu = (x^0, x, y, z) = (ct, x, y, z)$.
28\end{defi}
29
30\begin{prop}
31 Les transformacions entre SRIs són les del \underline{grup de Poincaré}: el grup generat per:
32 \begin{itemize}
33 \item Translacions espacials,
34 \item Rotacions espacials,
35 \item Translacions temporals,
36 \item Boosts de Lorentz.
37 \end{itemize}
38\end{prop}
39
40\section{Boost de Lorentz}
41
42\begin{defi}[Boost de Lorentz en configuració estàndard]
43 El boost de Lorentz en configuració estàndard és la transformació:
44 \[ \begin{pmatrix}
45 {x^0}' \\
46 x' \\
47 y' \\
48 z'
49 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
50 \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\
51 - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
52 0 & 0 & 1 & 0 \\
53 0 & 0 & 0 & 1
54 \end{pmatrix}}_{\Lambda} \begin{pmatrix}
55 x^0 \\
56 x \\
57 y \\
58 z
59 \end{pmatrix}, \]
60 que representa la transformació entre dos SRIs $S$ i $S'$ tals que:
61 \begin{enumerate}[i)]
62 \item $\vec{v} = (v, 0, 0)$.
63 \item A $t = t' = 0$, els dos orígens coincideixen.
64 \item El pla $y = 0$ coincideix amb el pla $y' = 0$, i anàlogament amb $z$ i $z'$.
65 \item $x' = 0 \iff x = vt$.
66 \item Sota inversions XZ la transformació segueix sent vàlida.
67 \end{enumerate}
68\end{defi}
69
70\begin{defi}[Factors relativistes]
71 Per conveniència, definim:
72 \[ \beta := \frac{v}{c}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.\]
73\end{defi}
74
75\begin{obs}
76 Per obtenir el boost en configuració estàndard invers, fem el canvi $v \rightarrow -v$ i, per tant, obtenim:
77 \[ \Lambda^{-1} = \begin{pmatrix}
78 \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\
79 \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
80 0 & 0 & 1 & 0 \\
81 0 & 0 & 0 & 1
82 \end{pmatrix}. \]
83\end{obs}
84
85\begin{obs}
86 Propietats del boost de Lorentz en configuració estàndard:
87 \begin{enumerate}[a)]
88 \item El límit galileà correspon a $\beta \ll 1$ i distàncies $|\Delta x| \ll |\Delta x^0|$.
89 \item La simultaneitat no és absoluta.
90 \item $|v| \to c \implies |\beta| \to 1 \implies \gamma \to \infty$. Així doncs, $\gamma \in [1, \infty]$.
91 \end{enumerate}
92\end{obs}
93
94\subsection{Formulació hiperbòlica}
95\begin{defi}
96 Donat que $\beta \in (-1, 1)$, definim la \underline{rapidesa} com el valor $\phi$ tal que:
97 \[ \beta = \tanh(\phi). \]
98\end{defi}
99
100\begin{obs}
101 Observem que $\phi \in (- \infty, + \infty)$, i que:
102 \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \phi}} = \cosh \phi. \]
103 Per tant:
104 \[ \begin{pmatrix}
105 \Delta {x^0}' \\
106 \Delta x'
107 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
108 \cosh \phi & \sinh \phi \\
109 \sinh \phi & \cosh \phi
110 \end{pmatrix}}_{\Lambda_\phi} \begin{pmatrix}
111 \Delta x^0 \\
112 \Delta x
113 \end{pmatrix} \]
114\end{obs}
115
116\begin{prop}
117 Si composem dues transformacions $\Lambda_{\phi_1}$, $\Lambda_{\phi_2}$, aleshores:
118 \[ \Lambda_{\phi_1} \circ \Lambda_{\phi_2} = \begin{pmatrix}
119 \cosh (\phi_1 + \phi_2) & \sinh (\phi_1 + \phi_2) \\
120 \sinh (\phi_1 + \phi_2) & \cosh (\phi_1 + \phi_2)
121 \end{pmatrix} = \Lambda_{\phi_1 + \phi_2}. \]
122
123 A més:
124 \[ \beta = \frac{\beta_1 + \beta_2}{1 + \beta_1 \beta_2}. \]
125\end{prop}
126
127\begin{obs}
128 Per tant, la composició de boosts en configuració estàndard ens dona un altre boost en configuració estàndard. Però la composició de boosts qualsevols no és un altre boost en general.
129\end{obs}
130
131\begin{defi}[Interval]
132 Donats dos esdeveniments $A$, $B$, el seu \underline{interval} ve definit per:
133 \[ (\Delta s)^2 := (\Delta x^0)^2 - (\Delta \vec{x})^2. \]
134
135 Diem que:
136 \begin{itemize}
137 \item És de \underline{tipus temps} si $(\Delta s)^2 > 0$,
138 \item És de \underline{tipus nul/llum} si $(\Delta s)^2 = 0$,
139 \item És de \underline{tipus espai} si $(\Delta s)^2 < 0$.
140 \end{itemize}
141\end{defi}
142
143\section{Diagrames d'espai-temps}
144
145\begin{prop}[Contracció de longituds]
146 \[ L = \frac{1}{\gamma} L_0, \]
147 on $L_0$ és la longitud pròpia (al sistema $S'$).
148\end{prop}
149
150\begin{prop}[Dilatació del temps]
151 \[ \Delta t = \gamma \Delta \tau, \]
152 on $\Delta \tau$ és el temps propi (al sistema $S'$).
153\end{prop}
154
155\begin{prop}
156 El temps propi per un rellotge amb una trajectòria donada es calcula com:
157 \[ \Delta \tau = \int_A^B \frac{\dif t}{\gamma (t)}. \]
158\end{prop}
159
160\begin{obs}
161 Si $\gamma < 1$, aleshores: $\Delta \tau < \Delta t$.
162\end{obs}
163
164\begin{prop}[Composició de velocitats (en 3D)]
165 Siguin $S$, $S'$ SRIs tals que $S'$ es mou a velocitat $\vec{v}$ relativa a $S$. Sigui $\vec{u}$ la trivelocitat d'una partícula en $S$, i $\vec{u}'$ en $S'$. Aleshores:
166 \[ c^2 - (\vec{u}')^2 = \frac{c^2}{\gamma_u^2 \gamma_v^2 \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right)^2} \implies \gamma_{u'} = \gamma_u \gamma_v \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right). \]
167
168 La segona fórmula només és vàlida si $|| \vec{u} || < c$.
169\end{prop}
170
171\begin{prop}
172 En 1 dimensió:
173 \[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}}; \qquad u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}}. \]
174\end{prop}
175
176\section{Òptica relativista}
177\begin{prop}[Efecte Doppler]
178 Siguin $S$ i $S'$ SRIs, i sigui $\vec{u}$ la velocitat d'un emissor que emet una ona de freqüència $\nu'$ a $S'$ ($\nu$ a $S$). Sigui $\hat{k}$ el vector que va de l'emissor a l'observador normalitzat. Definim $\vec{\beta}_u := \frac{1}{c} \vec{u}$.
179
180 Aleshores, la freqüència pròpia és:
181 \[ \nu' = \gamma_u (1 - \vec{\beta}_u \cdot \hat{k}) \nu. \]
182\end{prop}
183
184\begin{obs}
185 En 1 dimensió, la fórmula esdevé:
186 \[ \nu' = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \nu. \]
187\end{obs}
188
189\begin{prop}[Aberració (addició de velocitats)]
190 Siguin $S$, $S'$ dos SRIs de dues dimensions espacials en configuració estàndard. Sigui $\vec{u}$ la velocitat d'una partícula que es mou cap a l'orígen de $S$, on és un observador. Sigui $\alpha$ l'angle que fa la recta generada per $\vec{u}$ amb l'eix $X$, i $\alpha$ l'angle de $\langle \vec{u}' \rangle$ amb l'eix $X' = X$. Aleshores:
191 \[ \tan\left( \frac{\alpha'}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right). \]
192\end{prop}
193
194\begin{obs}
195 Considerem alguns límits de la fórmula anterior:
196
197 \begin{itemize}
198 \item \underline{$\beta \ll 1$}: $\Delta \alpha' = - \beta \sin \alpha$.
199 \item \underline{$\gamma \gg 1$}: $\tan \left( \frac{\alpha'}{2} \right) \approx \frac{1}{2 \gamma} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)$.
200 \end{itemize}
201\end{obs}
202
203\begin{prop}[Arrossegament de Fresnel]
204 Sigui $u'$ la velocitat de la llum en aigua en repòs, i sigui $v$ la velocitat de l'aigua en un tub. Sigui $n := c/u' > 1$ l'índex de refracció. Aleshores, la velocitat d'un fotó vista des del SRI $S$ és:
205 \[ u = u' + \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)}_{K} v + O(v^2), \]
206 on anomenem $K$ el coeficient d'arrossegament.
207\end{prop}
208
209\section{Moviment uniformement accelerat}
210
211En aquesta secció, considerarem un espai unidimensional.
212
213\begin{defi}
214 En el context de la relativitat especial, un \underline{moviment uniformement accelerat} és un moviment on l'acceleració pròpia és constant.
215
216 L'\underline{acceleració pròpia} es defineix com l'acceleració de la partícula en el \underline{sistema comòbil} en cada instant de temps, és a dir, l'SRI que es mou a la mateixa velocitat que la partícula en aquest instant de temps.
217\end{defi}
218
219\begin{prop}
220 Sigui $\alpha = \frac{du'}{dt'}$ l'acceleració pròpia d'una partícula en moviment uniformement accelerat (on el sistema $S'$ és el sistema comòbil en cada instant).
221
222 Aleshores:
223 \[ \alpha = \gamma_u^3 \frac{du}{dt}. \]
224
225 A més, la trajectòria descrita per la partícula és la hipèrbola
226 \[ (x - x_0)^2 - c^2 (t - t_0)^2 = \frac{c^4}{\alpha^2} =: l^2, \]
227 que es pot parametritzar per:
228 \[ \begin{cases}
229 x^0 = ct_0 + l \sinh (c \tau / l ), \\
230 x = x_0 + l \cosh (c \tau / l ).
231 \end{cases} \]
232\end{prop}
233
234\begin{center}
235 \begin{tikzpicture}
236 \begin{axis}[
237 axis lines = middle,
238 xlabel = $X$,
239 xlabel style = {anchor = south west},
240 ylabel = $X^0$,
241 ylabel style = {anchor = north west},
242 xmin = 0,
243 xmax = 4,
244 ymin = 0,
245 ymax = 3,
246 ]
247 \addplot[color = green, thick, dotted]{x + 0.5};
248 \addplot[color = green, thick, dotted]{-x + 2.5};
249 \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({1 + 0.7*cosh(x)}, {1.5 + 0.7*sinh(x)});
250 \draw (axis cs:1, 1.5) -- node[below]{$l$} (axis cs:1.7, 1.5);
251 \end{axis}
252 \end{tikzpicture}
253\end{center}
254
255\begin{obs}
256 $l$ és la distància mínima entre el centre de la hipèrbola i la hipèrbola. Quant més gran és, menor és $\alpha$. I quant més petita és, major és $\alpha$.
257\end{obs}
258\begin{obs}
259 Paradoxa: perquè un regle no es deformi, la part de darrere ha d'accelerar més que la de davant (si acceleren iguals es deforma).
260\end{obs}
261
262\begin{center}
263 \begin{tikzpicture}
264 \begin{axis}[
265 axis lines = middle,
266 xlabel = $X$,
267 xlabel style = {anchor = south west},
268 ylabel = $X^0$,
269 ylabel style = {anchor = north west},
270 xmin = 0,
271 xmax = 1.4,
272 ymin = -1.4,
273 ymax = 1.4,
274 width = 7cm,
275 height = 7cm
276 ]
277 \addplot[color = green, thick, dotted]{x};
278 \addplot[color = green, thick, dotted]{-x};
279 \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({0.5*cosh(x)}, {0.5*sinh(x)});
280 \addplot[domain = -1:1, smooth, color = red] ({cosh(x)}, {sinh(x)});
281 \end{axis}
282 \end{tikzpicture}
283\end{center}
284
285\section{Boost de Lorentz general}
286\begin{obs}
287 El boost de Lorentz general és:
288 \[ \begin{cases}
289 \displaystyle {x^0}' = \gamma(x^0 - \vec{\beta} \cdot \vec{r}), \\[0.5em]
290 \displaystyle \vec{r}' = \vec{r} + \vec{\beta} \left\{ \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{r}}{\beta^2} (\gamma - 1) - \gamma x^0 \right\}.
291 \end{cases} \]
292\end{obs}
293
294\section{Espai de Minkowski}
295\begin{defi}
296 L'espai de Minkowski $M^4$ és l'espai $\mathbb{R}^4$ amb la mètrica
297 \[ g := \tilde{\dif x}^0 \otimes \tilde{\dif x}^0 - \tilde{\dif x} \otimes \tilde{\dif x} - \tilde{\dif y} \otimes \tilde{\dif y} - \tilde{\dif z} \otimes \tilde{\dif z}. \]
298\end{defi}
299
300\begin{defi}
301 La \underline{quadrivelocitat} és un vector de l'espai de Minkowski que té components:
302 \[ U^\mu := \frac{\dif x^\mu}{\dif \tau} = \gamma (c, \vec{u}). \]
303\end{defi}
304
305\begin{defi}
306 La \underline{quadriacceleració} és un vector de l'espai de Minkowski amb components:
307 \[ A^\mu := \frac{\dif U^\mu}{\dif \tau} = \gamma \frac{\dif U^\mu}{\dif t} = \gamma (c \dot{\gamma}, \dot{\gamma} + \gamma \vec{a}), \]
308 on $\vec{a} := \frac{\dif \vec{u}}{\dif t}$.
309\end{defi}
310
311\begin{obs}
312 Observem que $\dot{\gamma} = \gamma^3 \vec{u} \cdot \vec{a}$, així que:
313 \[ A^\mu = 0 \iff \vec{a} = 0. \]
314\end{obs}
315
316\begin{prop}
317 L'acceleració pròpia és \[ \alpha^2 = \gamma^6 \frac{(\vec{u} \cdot \vec{a})^2}{c^2} + \gamma^4 a^2 = \gamma^6 \left[ a^2 - \frac{(\vec{u} \cross \vec{a})}{c^2} \right]. \]
318\end{prop}
319
320\begin{obs}
321 Considerem 2 casos específics:
322 \begin{itemize}
323 \item \underline{Acceleració lineal} ($\vec{u} \parallel \vec{a}$): $\alpha = \gamma^3 a$.
324 \item \underline{Acceleració circular} ($\vec{u} \perp \vec{a}$): $\alpha = \gamma^2 a$.
325 \end{itemize}
326\end{obs}
327
328\begin{prop}
329 $U \cdot A = 0$ (sota el producte escalar de l'espai de Minkowski).
330\end{prop}
331
332\begin{prop}[Producte escalar de quadrivelocitats]
333 Siguin $U_1$, $U_2$ dues quadrivelocitats (de 2 partícules en l'espai de Minkowski). Aleshores:
334 \[ \frac{U_1 \cdot U_2}{c^2} = \gamma = \cosh \phi. \]
335\end{prop}
336
337\section{Dinàmica relativista}
338Per desenvolupar la dinàmica relativista tenim en compte 2 postulats:
339\begin{enumerate}
340 \item Les lleis han de ser vàlides en tot SRI.
341 \item En el límit $\beta \ll 1$ hem de recuperar les lleis newtonianes.
342\end{enumerate}
343
344\subsection{Teoria de co\lgem isions}
345\begin{defi}
346 El \underline{quadrimoment} és:
347 \[ P^\mu := m \gamma (c, \vec{u}) = (p^0, \vec{p}), \]
348 on $\vec{p} = m \gamma \vec{u}$.
349\end{defi}
350
351\begin{prop}
Adrià Vilanova Martínez58e72072022-01-10 01:56:09 +0100352 $P \cdot P \equiv P^2 = m^2 c^2$ és invariant.
Adrià Vilanova Martínezf5b22a12021-11-03 02:13:17 +0100353\end{prop}
354
355\begin{prop}
356 El \underline{principi de conservació de l'energia} és:
357 \begin{enumerate}[a)]
358 \item $E = m \gamma c^2$,
359 \item $\sum^* P_r^\mu = 0$, on $\sum^* = \sum_r^{(in)} - \sum_r^{(out)}$.
360 \end{enumerate}
361\end{prop}
362
363\begin{col}
364 El quadrimoment per tant es pot expressar com:
365 \[ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right). \]
366\end{col}
367
368\begin{obs}
369 Quan $\gamma \approx 1$, $E \approx mc^2$.
370\end{obs}
371
372\begin{defi}
373 Definim l'\underline{energia cinètica} com:
374 \[ T := mc^2 (\gamma - 1). \]
375\end{defi}
376
377\subsection{Sistema aïllat de partícules}
378Sigui $P_{tot}^\mu = \sum_a P_a^\mu$. Aleshores, definim:
379\[ \vec{v}_{cm} := \frac{\vec{P}_{tot}}{P^0_{tot}} \]
380Si $P_{tot}^\mu = M_{tot} \cdot V_{cm}^\mu$, aleshores:
381\[ V_{cm}^\mu = \gamma_{cm} (c, \vec{v}_{cm}) \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^0}{\gamma_{cm} \cdot c}. \]
382
383En el SRI del CM $S'$, tindrem:
384\[ \left. \begin{array}{r}
385 V_{cm}^{\mu'} = (c, \vec{0}) \\
386 P_{tot}^{0'} = \sum_a m_a \gamma_a' c
387\end{array} \right\} \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^{0'}}{c} = \sum_a m_a \gamma_a'. \]
388
389\subsection{Boosts en una direcció arbitrària}
390
391\begin{prop}
392 L'energia d'una partícula de quadrimoment $P$ vista per un observador amb quadrivelocitat $V$ és:
393 \[ E' = V_\mu P^\mu = V \cdot P. \]
394\end{prop}
395
396\subsection{Partícules sense massa}
397\begin{defi}
398 El \underline{quadrimoment} d'una partícula sense massa és:
399 \[ K^\mu = \frac{E}{c} (1, \hat{k}), \]
400 on $\hat{k} := \vec{u}/c$. Observem $K^2 = 0$.
401\end{defi}
402
403\begin{prop}[Efecte Doppler]
404 Sigui $E = h \nu$ l'energia d'un fotó. Aleshores:
405 \[ \nu' = \gamma (1 - \vec{\beta} \cdot \hat{k}) \nu. \]
406\end{prop}
407
408\begin{prop}[Aberració en configuració estàndard]
409 Tenim:
410 \[ \hat{\beta} \hat{k}' = \frac{\hat{\beta} \hat{k} - \beta}{1 - \vec{\beta} \hat{k}}. \]
411\end{prop}
412
413\subsection{Efecte Compton}
414L'efecte Compton descriu col·lisions del tipus $e^- + \gamma \rightarrow e^- + \gamma$. Ens diu que la diferència de les longituds d'ona sortint i entrant és:
415\[ \Delta \lambda = (\lambda_2 - \lambda_1) = \underbrace{\frac{h}{m_e c}}_{\lambda_C} (1 - \cos \theta), \]
416on $\lambda_C$ s'anomena la longitud d'ona Compton.