quad8/gd/entregables/p3_11/main.tex - edu/college-misc - Gitiles

 \documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[catalan]{babel}
 \usepackage{lmodern}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{xcolor}
 \usepackage{tcolorbox}
 \usepackage{hyperref}
 \usepackage{geometry}
 \usepackage{physics}
 \usepackage{systeme,mathtools}
 \usepackage[usestackEOL]{stackengine}
 \usepackage{scalerel}
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{enumerate}
 \usepackage{tikz}
 \usepackage[labelfont=bf]{caption}
 \usepackage{siunitx}
 \usepackage{cancel}
 \usepackage{fbox}
 \usepackage{multicol}
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage[shortlabels]{enumitem}
 \usetikzlibrary{positioning}
 \geometry{top=25mm}

 % Plantilla per l'interior d'un conjunt
 \newcommand{\interior}[1]{%
   {\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}%
 }

 % Plantilles del notate
 \def\myupbracefill#1{\rotatebox{90}{\stretchto{\{}{#1}}}
 \def\rlwd{.5pt}
 \newcommand\notate[4][B]{%
   \if B#1\else\def\myupbracefill##1{}\fi%
   \def\useanchorwidth{T}%
   \setbox0=\hbox{$\displaystyle#2$}%
   \def\stackalignment{c}\stackunder[-6pt]{%
     \def\stackalignment{c}\stackunder[-1.5pt]{%
       \stackunder[2pt]{\strut $\displaystyle#2$}{\myupbracefill{\wd0}}}{%
     \rule{\rlwd}{#3\baselineskip}}}{%
   \strut\kern9pt$\rightarrow$\smash{\rlap{$~#4$}}}%
 }

 % Plantilles dels boxes
 %%%% START DEFINING LBOXED, RBOXED %%%%
 \newcommand{\lboxed}[1]{\fbox[blt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}
 \newcommand{\rboxed}[1]{\fbox[brt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}

 % Plantilles pels problemes
 \newcounter{problem}
 \newcounter{solution}

 \newcommand{\green}[1]{\textbf{\color{ForestGreen} #1}}

 \newcommand{\separator}{\noindent\hfil\rule{0.75\textwidth}{0.4pt}\hfil}

 \newenvironment{Problema}{%
     \stepcounter{problem}%
     \begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
         \textbf{Problema \theproblem.}~%
         \setcounter{solution}{0}}{%
     \end{tcolorbox}
 }

 \newenvironment{FreeProblema}{%
     \begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
         \setcounter{solution}{0}}{%
     \end{tcolorbox}
 }

 \newcommand\Solucio{%
     \textbf{Solució:}\\%
 }

 \newcommand\Context{%
     \textbf{Context:}\\%
 }

 \newcommand\Lema{%
     \textbf{Lema:} %
 }

 \newcommand\Proposicio{%
     \textbf{Proposició:} %
 }

 \newcommand\Teorema{%
     \textbf{Teorema:} %
 }

 \newcommand\Demostracio{%
     \textbf{Demostració:}\\%
 }

 \newcommand\QED{\square}

 \newcommand\ASolution{%
     \stepcounter{solution}%
     \textbf{Solució \thesolution:}\\%
 }


 \newcommand{\asection}[2]{
 \setcounter{section}{#1}
 \addtocounter{section}{-1}
 \section{#2}
 }

 % Comandes per les formes fonamentals:
 \DeclareMathOperator{\I}{\mathrm{I}}
 \DeclareMathOperator{\II}{\mathrm{I\!I}}

 \title{Exercici 3.11\\Geometria Diferencial}
 \author{Adrià Vilanova Martínez}
 \date{15 de març de 2021}

 \begin{document}

 \maketitle

 \begin{FreeProblema}
   \textbf{Problema 3.11.} Calculeu la segona forma fonamental, l'aplicació de Weingarten, les curvatures principals, les direccions principals i assimptòtiques, les curvatures mitja $H$ i gaussiana $K$, i identifiqueu les línies de curvatura i assimptòtiques si podeu, en les superfícies següents:

   \begin{enumerate}[a)]
     \item Cilindre: $\varphi(u, v) = (a \cos u, a \sin u, v)$.
     \item Helicoide: $\varphi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, bv)$.
     \item Catenoide: $\varphi(u, v) = a (\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u)$.
   \end{enumerate}
 \end{FreeProblema}

 \Solucio

 Per calcular la segona forma fonamental de les dues superfícies, ho farem mitjançant la següent expressió: \[ \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   \vec{n} \cdot \varphi_{uu} & \vec{n} \cdot \varphi_{uv} \\
   \vec{n} \cdot \varphi_{vu} & \vec{n} \cdot \varphi_{vv}
 \end{pmatrix} \]

 Així doncs, necessitem calcular d'avantmà les derivades segones de les parametritzacions i l'aplicació de Gauss (vector normal unitari) que, degut al fet que les superfícies ens venen donades en forma de parametrització, es pot calcular com: \[ \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\norm{\vec{N} (u, v)}} \vec{N} (u, v) \] on $\vec{N}(u, v) = \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v)$.

 Fem aquests càlculs per cadascuna de les superfícies:

 \textbf{Cilindre:}
 \[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
   \varphi_u (u, v) = a (-\sin u, \cos u, 0) \implies \begin{cases}
     \varphi_{uu} (u, v) = a (-\cos u, -\sin u, 0) \\
     \varphi_{uv} (u, v) = (0, 0, 0)
   \end{cases} \\
   \varphi_v (u, v) = (0, 0, 1) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (0, 0, 0) \\
   \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a (- \sin u, \cos u, 0) \cross (0, 0, 1) = a (\cos u, \sin u, 0) \implies \\
   \implies \vec{n}(u, v) = \frac{a}{a} (\cos u, \sin u, 0) = (\cos u, \sin u, 0)
 \end{array}\right\} \implies \]
 \[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   -a & 0 \\
   0 & 0
 \end{pmatrix} \]

 \textbf{Helicoide:}
 \[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
   \varphi_u (u, v) = (\cos v, \sin v, 0) \implies \begin{cases}
     \varphi_{uu} (u, v) = (0, 0, 0) \\
     \varphi_{uv} (u, v) = (- \sin v, \cos v, 0)
   \end{cases} \\
   \varphi_v (u, v) = (-u \sin v, u \cos v, b) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (-u \cos v, -u \sin v, 0) \\
   \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = (b \sin v, -b \cos v, u) \implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} (b \sin v, -b \cos v, u)
 \end{array}\right\} \implies \]
 \[ \implies \II_{(u, v)} = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
   0 & -b \\
   -b & 0
 \end{pmatrix} \]

 \textbf{Catenoide:}
 \[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
   \varphi_u (u, v) = a (\sinh u \cos v, \sinh u \sin v, 1) \implies \begin{cases}
     \varphi_{uu} (u, v) = a \cosh u (\cos v, \sin v, 0) \\
     \varphi_{uv} (u, v) = a \sinh u (- \sin v, \cos v, 0)
   \end{cases} \\
   \varphi_v (u, v) = a \cosh u (- \sin v, \cos v, 0) \implies \varphi_{vv} (u, v) = a \cosh u (- \cos v, - \sin v, 0) \\
   \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a^2 \cosh u (- \cos v, - \sin v, \sinh u) \implies \\
   \implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 u}} (- \cos v, - \sin v, \sinh u) = \frac{1}{\cosh u} (- \cos v, - \sin v, \sinh u)
 \end{array}\right\} \implies \]
 \[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   -a & 0 \\
   0 & a
 \end{pmatrix} \]

 \hrulefill

 Ara calcularem la primera forma fonamental de cada superfície, ja que ens farà falta per calcular les diverses curvatures: \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   \varphi_u \cdot \varphi_u & \varphi_u \cdot \varphi_v \\
   \varphi_v \cdot \varphi_u & \varphi_v \cdot \varphi_v
 \end{pmatrix} \]

 \textbf{Cilindre:}
 \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   a^2 & 0 \\
   0 & 1
 \end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   -\frac{1}{a} & 0 \\
   0 & 0
 \end{pmatrix} \]

 \textbf{Helicoide:}
 \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & u^2 + b^2
 \end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = - \frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   \frac{1}{b^2 + u^2} & 0
 \end{pmatrix} \]

 \textbf{Catenoide:}
 \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
   a^2 \cosh^2 u & 0 \\
   0 & a^2 \cosh^2 u
 \end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \frac{1}{a \cosh^2 u} \begin{pmatrix}
   -1 & 0 \\
   0 & 1
 \end{pmatrix} \]

 \hrulefill

 Les curvatures principals són els VAPs de les diferents matrius $\Sigma_{(u, v)}$ de l'aplicació de Weingarten, i les direccions principals són els VEPs corresponents. Aleshores, les curvatures principals del cilindre són $-\frac{1}{a}$ i $0$ amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment, ja que la matriu ja és diagonal i la matriu de l'aplicació està en base ${\varphi_u, \varphi_v}$.

 Pel mateix motiu, les curvatures principals del catenoide són $\frac{-1}{a \cosh^2 u}$ o $\frac{1}{a \cosh^2 u}$, amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment.

 En quant a l'helicoide, es pot comprovar que una matriu del tipus $\begin{pmatrix}
   0 & a \\
   b & 0
 \end{pmatrix}$ amb $a, b < 0$ té VAPs $\sqrt{ab}$, $-\sqrt{ab}$ i els corresponents VEPs $(\sqrt{-a}, \sqrt{-b})$ i $(\sqrt{-a}, -\sqrt{-b})$. Per tant, les curvatures principals són $\frac{b}{b^2 + u^2}$ i $\frac{-b}{b^2 + u^2}$ i les direccions principals corresponents són $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, \sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$ i $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, -\sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$.

 \hrulefill

 La curvatura mitjana ve definida per la següent expressió: \[ H(p) = \frac{K_1 + K_2}{2} \] on $K_1$, $K_2$ són les curvatures principals.

 D'aquesta definició és fàcil veure que la curvatura mitjana pel cilindre és $-\frac{1}{2a}$, i que pel catenoide i l'helicoide és nul·la.

 Per una altra banda, la curvatura gaussiana té la següent expressió: \[ K(p) = K_1 \cdot K_2 \]

 Així doncs, la curvatura gaussiana del cilindre és nul·la, la del catenoide és $\frac{-1}{a^2 \cosh^4 u}$ i la de l'helicoide és $\frac{-b^2}{(b^2 + u^2)^2}$.

 \hrulefill

 Una línia de curvatura és una corba $\gamma \subset S$ tal que $T_p \gamma$ és una direcció principal de curvatura de $S$ en $P$ per tot $p$.

 Aleshores, en el cas del cilindre i el catenoide, on les direccions principals de curvatura són $\varphi_u$, $\varphi_v$, està clar que les línies de curvatura són els meridians (les corbes on es deixa la $u$ fixa) i els paral·lels (les corbes on es deixa la $v$ fixa).

 \hrulefill

 \textit{\textbf{Nota:} el codi \LaTeX de la resolució d'aquest problema es pot trobar a \url{https://gerrit.avm99963.com/plugins/gitiles/edu/college-misc/+/master/quad8/gd/entregables/p3_11/}. S'accepten tot tipus de suggerències, correccions, comentaris, etc. :)}

 \textit{Una cosa a millorar és el fet que falta afegir la part relativa a les direccions/línies assimptòtiques. Tinc pensat afegir-ho quan surti aquesta definició a teoria o problemes. A part, també faltaria veure quines són les línies de curvatura pel cas de l'helicoide.}

 \end{document}
	\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage[catalan]{babel}
	\usepackage{lmodern}
	\usepackage{amsmath}
	\usepackage{amsfonts}
	\usepackage{amssymb}
	\usepackage{mathtools}
	\usepackage{parskip}
	\usepackage{xcolor}
	\usepackage{tcolorbox}
	\usepackage{hyperref}
	\usepackage{geometry}
	\usepackage{physics}
	\usepackage{systeme,mathtools}
	\usepackage[usestackEOL]{stackengine}
	\usepackage{scalerel}
	\usepackage{graphicx}
	\usepackage{enumerate}
	\usepackage{tikz}
	\usepackage[labelfont=bf]{caption}
	\usepackage{siunitx}
	\usepackage{cancel}
	\usepackage{fbox}
	\usepackage{multicol}
	\usepackage{amsthm}
	\usepackage[shortlabels]{enumitem}
	\usetikzlibrary{positioning}
	\geometry{top=25mm}

	% Plantilla per l'interior d'un conjunt
	\newcommand{\interior}[1]{%
	{\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}%
	}

	% Plantilles del notate
	\def\myupbracefill#1{\rotatebox{90}{\stretchto{\{}{#1}}}
	\def\rlwd{.5pt}
	\newcommand\notate[4][B]{%
	\if B#1\else\def\myupbracefill##1{}\fi%
	\def\useanchorwidth{T}%
	\setbox0=\hbox{$\displaystyle#2$}%
	\def\stackalignment{c}\stackunder[-6pt]{%
	\def\stackalignment{c}\stackunder[-1.5pt]{%
	\stackunder[2pt]{\strut $\displaystyle#2$}{\myupbracefill{\wd0}}}{%
	\rule{\rlwd}{#3\baselineskip}}}{%
	\strut\kern9pt$\rightarrow$\smash{\rlap{$~#4$}}}%
	}

	% Plantilles dels boxes
	%%%% START DEFINING LBOXED, RBOXED %%%%
	\newcommand{\lboxed}[1]{\fbox[blt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}
	\newcommand{\rboxed}[1]{\fbox[brt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}

	% Plantilles pels problemes
	\newcounter{problem}
	\newcounter{solution}

	\newcommand{\green}[1]{\textbf{\color{ForestGreen} #1}}

	\newcommand{\separator}{\noindent\hfil\rule{0.75\textwidth}{0.4pt}\hfil}

	\newenvironment{Problema}{%
	\stepcounter{problem}%
	\begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
	\textbf{Problema \theproblem.}~%
	\setcounter{solution}{0}}{%
	\end{tcolorbox}
	}

	\newenvironment{FreeProblema}{%
	\begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
	\setcounter{solution}{0}}{%
	\end{tcolorbox}
	}

	\newcommand\Solucio{%
	\textbf{Solució:}\\%
	}

	\newcommand\Context{%
	\textbf{Context:}\\%
	}

	\newcommand\Lema{%
	\textbf{Lema:} %
	}

	\newcommand\Proposicio{%
	\textbf{Proposició:} %
	}

	\newcommand\Teorema{%
	\textbf{Teorema:} %
	}

	\newcommand\Demostracio{%
	\textbf{Demostració:}\\%
	}

	\newcommand\QED{\square}

	\newcommand\ASolution{%
	\stepcounter{solution}%
	\textbf{Solució \thesolution:}\\%
	}


	\newcommand{\asection}[2]{
	\setcounter{section}{#1}
	\addtocounter{section}{-1}
	\section{#2}
	}

	% Comandes per les formes fonamentals:
	\DeclareMathOperator{\I}{\mathrm{I}}
	\DeclareMathOperator{\II}{\mathrm{I\!I}}

	\title{Exercici 3.11\\Geometria Diferencial}
	\author{Adrià Vilanova Martínez}
	\date{15 de març de 2021}

	\begin{document}

	\maketitle

	\begin{FreeProblema}
	\textbf{Problema 3.11.} Calculeu la segona forma fonamental, l'aplicació de Weingarten, les curvatures principals, les direccions principals i assimptòtiques, les curvatures mitja $H$ i gaussiana $K$, i identifiqueu les línies de curvatura i assimptòtiques si podeu, en les superfícies següents:

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Cilindre: $\varphi(u, v) = (a \cos u, a \sin u, v)$.
	\item Helicoide: $\varphi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, bv)$.
	\item Catenoide: $\varphi(u, v) = a (\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u)$.
	\end{enumerate}
	\end{FreeProblema}

	\Solucio

	Per calcular la segona forma fonamental de les dues superfícies, ho farem mitjançant la següent expressió: \[ \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	\vec{n} \cdot \varphi_{uu} & \vec{n} \cdot \varphi_{uv} \\
	\vec{n} \cdot \varphi_{vu} & \vec{n} \cdot \varphi_{vv}
	\end{pmatrix} \]

	Així doncs, necessitem calcular d'avantmà les derivades segones de les parametritzacions i l'aplicació de Gauss (vector normal unitari) que, degut al fet que les superfícies ens venen donades en forma de parametrització, es pot calcular com: \[ \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\norm{\vec{N} (u, v)}} \vec{N} (u, v) \] on $\vec{N}(u, v) = \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v)$.

	Fem aquests càlculs per cadascuna de les superfícies:

	\textbf{Cilindre:}
	\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
	\varphi_u (u, v) = a (-\sin u, \cos u, 0) \implies \begin{cases}
	\varphi_{uu} (u, v) = a (-\cos u, -\sin u, 0) \\
	\varphi_{uv} (u, v) = (0, 0, 0)
	\end{cases} \\
	\varphi_v (u, v) = (0, 0, 1) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (0, 0, 0) \\
	\varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a (- \sin u, \cos u, 0) \cross (0, 0, 1) = a (\cos u, \sin u, 0) \implies \\
	\implies \vec{n}(u, v) = \frac{a}{a} (\cos u, \sin u, 0) = (\cos u, \sin u, 0)
	\end{array}\right\} \implies \]
	\[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	-a & 0 \\
	0 & 0
	\end{pmatrix} \]

	\textbf{Helicoide:}
	\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
	\varphi_u (u, v) = (\cos v, \sin v, 0) \implies \begin{cases}
	\varphi_{uu} (u, v) = (0, 0, 0) \\
	\varphi_{uv} (u, v) = (- \sin v, \cos v, 0)
	\end{cases} \\
	\varphi_v (u, v) = (-u \sin v, u \cos v, b) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (-u \cos v, -u \sin v, 0) \\
	\varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = (b \sin v, -b \cos v, u) \implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} (b \sin v, -b \cos v, u)
	\end{array}\right\} \implies \]
	\[ \implies \II_{(u, v)} = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
	0 & -b \\
	-b & 0
	\end{pmatrix} \]

	\textbf{Catenoide:}
	\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
	\varphi_u (u, v) = a (\sinh u \cos v, \sinh u \sin v, 1) \implies \begin{cases}
	\varphi_{uu} (u, v) = a \cosh u (\cos v, \sin v, 0) \\
	\varphi_{uv} (u, v) = a \sinh u (- \sin v, \cos v, 0)
	\end{cases} \\
	\varphi_v (u, v) = a \cosh u (- \sin v, \cos v, 0) \implies \varphi_{vv} (u, v) = a \cosh u (- \cos v, - \sin v, 0) \\
	\varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a^2 \cosh u (- \cos v, - \sin v, \sinh u) \implies \\
	\implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 u}} (- \cos v, - \sin v, \sinh u) = \frac{1}{\cosh u} (- \cos v, - \sin v, \sinh u)
	\end{array}\right\} \implies \]
	\[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	-a & 0 \\
	0 & a
	\end{pmatrix} \]

	\hrulefill

	Ara calcularem la primera forma fonamental de cada superfície, ja que ens farà falta per calcular les diverses curvatures: \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	\varphi_u \cdot \varphi_u & \varphi_u \cdot \varphi_v \\
	\varphi_v \cdot \varphi_u & \varphi_v \cdot \varphi_v
	\end{pmatrix} \]

	\textbf{Cilindre:}
	\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	a^2 & 0 \\
	0 & 1
	\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	-\frac{1}{a} & 0 \\
	0 & 0
	\end{pmatrix} \]

	\textbf{Helicoide:}
	\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	1 & 0 \\
	0 & u^2 + b^2
	\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = - \frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
	0 & 1 \\
	\frac{1}{b^2 + u^2} & 0
	\end{pmatrix} \]

	\textbf{Catenoide:}
	\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
	a^2 \cosh^2 u & 0 \\
	0 & a^2 \cosh^2 u
	\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \frac{1}{a \cosh^2 u} \begin{pmatrix}
	-1 & 0 \\
	0 & 1
	\end{pmatrix} \]

	\hrulefill

	Les curvatures principals són els VAPs de les diferents matrius $\Sigma_{(u, v)}$ de l'aplicació de Weingarten, i les direccions principals són els VEPs corresponents. Aleshores, les curvatures principals del cilindre són $-\frac{1}{a}$ i $0$ amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment, ja que la matriu ja és diagonal i la matriu de l'aplicació està en base ${\varphi_u, \varphi_v}$.

	Pel mateix motiu, les curvatures principals del catenoide són $\frac{-1}{a \cosh^2 u}$ o $\frac{1}{a \cosh^2 u}$, amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment.

	En quant a l'helicoide, es pot comprovar que una matriu del tipus $\begin{pmatrix}
	0 & a \\
	b & 0
	\end{pmatrix}$ amb $a, b < 0$ té VAPs $\sqrt{ab}$, $-\sqrt{ab}$ i els corresponents VEPs $(\sqrt{-a}, \sqrt{-b})$ i $(\sqrt{-a}, -\sqrt{-b})$. Per tant, les curvatures principals són $\frac{b}{b^2 + u^2}$ i $\frac{-b}{b^2 + u^2}$ i les direccions principals corresponents són $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, \sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$ i $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, -\sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$.

	\hrulefill

	La curvatura mitjana ve definida per la següent expressió: \[ H(p) = \frac{K_1 + K_2}{2} \] on $K_1$, $K_2$ són les curvatures principals.

	D'aquesta definició és fàcil veure que la curvatura mitjana pel cilindre és $-\frac{1}{2a}$, i que pel catenoide i l'helicoide és nul·la.

	Per una altra banda, la curvatura gaussiana té la següent expressió: \[ K(p) = K_1 \cdot K_2 \]

	Així doncs, la curvatura gaussiana del cilindre és nul·la, la del catenoide és $\frac{-1}{a^2 \cosh^4 u}$ i la de l'helicoide és $\frac{-b^2}{(b^2 + u^2)^2}$.

	\hrulefill

	Una línia de curvatura és una corba $\gamma \subset S$ tal que $T_p \gamma$ és una direcció principal de curvatura de $S$ en $P$ per tot $p$.

	Aleshores, en el cas del cilindre i el catenoide, on les direccions principals de curvatura són $\varphi_u$, $\varphi_v$, està clar que les línies de curvatura són els meridians (les corbes on es deixa la $u$ fixa) i els paral·lels (les corbes on es deixa la $v$ fixa).

	\hrulefill

	\textit{\textbf{Nota:} el codi \LaTeX de la resolució d'aquest problema es pot trobar a \url{https://gerrit.avm99963.com/plugins/gitiles/edu/college-misc/+/master/quad8/gd/entregables/p3_11/}. S'accepten tot tipus de suggerències, correccions, comentaris, etc. :)}

	\textit{Una cosa a millorar és el fet que falta afegir la part relativa a les direccions/línies assimptòtiques. Tinc pensat afegir-ho quan surti aquesta definició a teoria o problemes. A part, també faltaria veure quines són les línies de curvatura pel cas de l'helicoide.}

	\end{document}