Add electrodinàmica HW7
Change-Id: Ibce941cc582d494aee534f796d33adbfd091363f
diff --git a/quad9/electrodinamica/homework/hw7/main.tex b/quad9/electrodinamica/homework/hw7/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..3176417
--- /dev/null
+++ b/quad9/electrodinamica/homework/hw7/main.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+
+\usepackage[catalan]{babel}
+\input{../../../hw_preamble.tex}
+
+\usepackage{biblatex}
+\addbibresource{referencies.bib}
+
+\title{Entrega 7 de problemes\\Electrodinàmica}
+\author{Adrià Vilanova Martínez}
+\date{26 d'octubre, 2021}
+
+\showcorrectionsfalse % Change "true" to "false" in order to show corrections as
+ % if they weren't corrections (in black instead of red).
+
+\newcommand{\X}{\mathbf{X}}
+\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{FreeProblem}
+ \textbf{Problema III.6.c)} Trobeu la solució general de les equacions del moviment per a una partícula de càrrega $q$ i massa $m$ en camps electromagnètics $\vec{E}$, $\vec{B}$ uniformes, amb $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$ i $\vec{E}^2 = \vec{B}^2$.
+\end{FreeProblem}
+
+Comencem suposant que com els camps elecromagnètics són perpendiculars entre ells, sense pèrdua de generalitat fent una rotació adequada del sistema de referència tenim:
+\[ \vec{E} = E \hat{j}, \quad \vec{B} = B \hat{k}, \]
+amb $E, B > 0$.
+
+Per tant, el tensor de camp electromagnètic és:
+\[ F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
+ 0 & 0 & -E & 0 \\
+ 0 & 0 & -B & 0 \\
+ E & B & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 0
+\end{pmatrix}. \]
+
+A més, degut al fet que $\vec{E}^2 = \vec{B}^2$ es desprén que $E = B$.
+
+Usem l'equació del moviment
+\[ \frac{dP^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{\mu \nu} U_\nu, \]
+d'on obtenim:
+\begin{equation}
+ \frac{dP^0}{d\tau} = \frac{q}{c} E U^y,
+ \label{eom0}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \frac{dP^x}{d\tau} = \frac{q}{c} B U^y = \frac{q}{c} E U^y,
+ \label{eom1}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \frac{dP^y}{d\tau} = \frac{q}{c} E (U^0 - U^x),
+ \label{eom2}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \frac{dP^z}{d\tau} = 0 \implies \boxed{P^z = P_0^z},
+ \label{eom3}
+\end{equation}
+
+Ara observem que, tal com s'indica a l'enunciat, de \eqref{eom0} i \eqref{eom1} obtenim:
+\[ \frac{d(P^0 - P^x)}{d\tau} = 0 \implies \alpha := P^0 - P^x \text{ és constant del moviment.} \]
+
+Desenvolupant \eqref{eom2}:
+\[ \frac{d P^y}{d \tau} = \frac{q}{c} E (U^0 - U^x) = \frac{qE}{mc} (P^0 - P^x) = \frac{qE}{mc} \alpha. \]
+Definim $\eta := \frac{qE}{mc}$. Aleshores, resolent l'equació obtenim:
+\[ \boxed{P^y = P_0^y + \eta \alpha \tau}. \]
+
+Desenvolupant ara \eqref{eom0}:
+\[ \frac{dP^0}{d \tau} = \frac{qE}{mc} P^y = \eta P^y = P^y_0 \eta + \eta^2 \alpha \tau \implies \]
+\[ \implies \boxed{P^0 = P^0_0 + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2}. \]
+
+Amb un desenvolupament anàleg per \eqref{eom1} (donat que són la mateixa equació en el fons):
+\[ \boxed{P^x = P_0^x + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2}. \]
+
+Utilitzem ara el fet que:
+\[ \frac{dx^\mu}{d \tau} = U^\mu = \frac{1}{m} P^\mu = \frac{1}{m} \begin{pmatrix}
+ P^0_0 + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
+ P_0^x + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
+ P_0^y + \eta \alpha \tau \\
+ P_0^z
+\end{pmatrix}, \]
+i integrant aquesta expressió trobem la parametrització de la trajectòria de la partícula en temps del temps propi:
+\[ \boxed{x^\mu(\tau) = x^\mu_0 + \frac{1}{m} \begin{pmatrix}
+ P^0_0 \tau + \frac{1}{2} P_0^y \eta \tau^2 + \frac{1}{6} \eta \alpha \tau^3 \\
+ P_0^x \tau + \frac{1}{2} P_0^y \eta \tau^2 + \frac{1}{6} \eta \alpha \tau^3 \\
+ P_0^y \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
+ P_0^z \tau
+\end{pmatrix}}, \]
+on $x^\mu_0$ és la posició inicial de la partícula en l'espai-temps, i $P^\mu_0$ és el seu quadrimoment inicial.
+
+\end{document}