\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[labelfont=bf]{caption}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=25mm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{chemformula}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{pgfplotstable}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\pgfplotstableset{
empty cells with={--}, % replace empty cells with ’--’
every head row/.style={before row=\toprule,after row=\midrule},
every last row/.style={after row=\bottomrule}%,
%every even row/.style={
%before row={\rowcolor[gray]{0.9}}}, % Add this for stylish tables ;)
%begin table=\begin{longtable},
%end table=\end{longtable}
}

\setlength{\parskip}{1em}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Adrià Vilanova Martínez}
\lhead{Pràctica 3}
\rfoot{\thepage}

%%%% Title %%%%
\title{\vspace{-2ex}Pràctica 8. Mesura del coeficient $\gamma$ d'un gas\vspace{-2ex}}
\author{Adrià Vilanova Martínez (T1B)\vspace{-2ex} }
\date{Tardor 2020}

\begin{document}
  \maketitle

  \section{Objectiu de la pràctica}
  L'objectiu de la pràctica és mesurar els coeficients $\gamma := \frac{C_p}{C_v}$ per tres gasos diferents (\ch{Ar}, aire, \ch{CO_2}) i comparar-los amb els resultat teòrics (en el cas de l'argó i l'aire) o de la literatura (en el cas del diòxid de carboni).

  L'experiment a través del qual es determinen els coeficients $\gamma$ es detalla a la guia de pràctiques de Termodinàmica, i en aquest informe s'usen les dades recollides a la sèrie 2.

  \section{Raó de calor específic teòric}
  $\gamma := \frac{C_p}{C_v}$ s'anomena raó de calor específic, que és la raó entre el calor específic a pressió constant i el calor específic a volum constant.

  Per un gas ideal, degut a la deducció teòrica que es fa a partir de l'experiment de Joule es té la relació $C_p = C_v + R$.\footnote{L'experiment de Joule consisteix en posar dos recipients connectats a través d'un tub inicialment bloquejat a dins d'un calorímetre. Un dels recipients està ple d'un gas i l'altre està buit. Al principi el sistema recipients-calorímetre està en equilibri termodinàmic. S'obre instantàniament la clau i el gas s'expandeix. S'observa que aquesta expansió és adiabàtica ja que el termòmetre del calorímetre no canvia de temperatura.} Aleshores: \[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{C_v + R}{C_v} = 1 + \frac{R}{C_v} \]

  Segons (Fermi, 1937), a partir d'uns resultats teòrics de la teoria cinètica que encara no s'han explicat a classe de teoria, per un gas monoatòmic tenim $C_v = \frac{3}{2} R$, i per un gas diatòmic $C_v = \frac{5}{2} R$. Aleshores, s'arriba al següent resultat teòric, que és el valor que s'espera trobar experimentalment per l'argó i l'aire respectivament: \[ \gamma = \begin{cases}
    \frac{5}{3} \text{ per un gas monoatòmic} \\
    \frac{7}{5} \text{ per un gas diatòmic}
  \end{cases} \]

  \newpage

  \section{Determinació dels coeficients $\gamma_{\exp}$}
  Tal com s'explica al guió de la pràctica, si $p_0$ és la pressió atmosfèrica, $p_1$ és la pressió inicial del recipient i $p_2$ és la pressió final del recipient, tenim l'equació \[ \frac{p_1}{p_0} = \left( \frac{p_1}{p_2} \right)^\gamma \]

  Les dades recollides no són les pressions, sinó les diferències d'alçades $h_1, h_2$ respectives de les columnes del manòmetre en U, i es relacionen amb $p_i$ amb el principi fundamental de la hidrostàtica: \[ p_i = p_0 + \rho g h_i \] on $g$ és l'acceleració de la gravetat i $\rho$ és la viscositat de la silicona. Aleshores, substituint aquestes relacions a l'equació inicial i definint $k := \rho g$ s'obté: \[ \frac{p_0 + k h_1}{p_0} = \left( \frac{p_0 + k h_1}{p_0 + k h_2} \right)^\gamma \implies 1 + \frac{k}{p_0} h_1 = \frac{\left( 1 + \frac{k}{p_0} h_1 \right)^\gamma}{\left( 1 + \frac{k}{p_0} h_2 \right)^\gamma} \implies \]
  \[ \implies \left( 1 + \frac{k}{p_0} h_2 \right)^\gamma = \left( 1 + \frac{k}{p_0} h_1 \right)^{\gamma - 1} \]

  Com les pressions (i consegüent les diferències d'alçada) són molt petites, es pot fer la següent aproximació de Taylor de primer ordre respecte $h_i$: \[ \left( 1 + c \, h_i \right)^\alpha = 1 + \alpha \, c \, h_i + \mathcal{O}(h_i^2) \]

  Aleshores, obtenim finalment: \[ 1 + \gamma \frac{k}{p_0} h_2 = 1 + (\gamma - 1) \frac{k}{p_0} h_1 + \mathcal{O}(h_1^2) \implies \gamma h_2 = (\gamma - 1) h_1 + \mathcal{O}(h_1^2) \implies \]
  \[ \implies h_2 = \left( 1 - \frac{1}{\gamma} \right) h_1 + \mathcal{O}(h_1^2) \]

  Un cop arribats a aquest punt podem fer la regressió lineal, on tindrem que la pendent de la recta serà $m = 1 - \dfrac{1}{\gamma}$, i per tant $\gamma = \dfrac{1}{1 - m}$.

  \begin{center}
    \begin{minipage}{\textwidth}
      \begin{multicols}{3}
        \begin{center}
          \pgfplotstabletypeset[
              sort,
              sort cmp={int <},
              sort key=0,
              columns/0/.style={column name=$h_1 \, (\si{\milli\meter})$},
              columns/1/.style={column name=$h_2 \, (\si{\milli\meter})$}]
              {../data/ar.dat}
          \captionof{table}{Valors obtinguts amb l'argó.}
        \end{center}

        \columnbreak

        \begin{center}
          \pgfplotstabletypeset[
              sort,
              sort cmp={int <},
              sort key=0,
              columns/0/.style={column name=$h_1 \, (\si{\milli\meter})$},
              columns/1/.style={column name=$h_2 \, (\si{\milli\meter})$}]
              {../data/aire.dat}
          \captionof{table}{Valors obtinguts amb l'aire.}
        \end{center}

        \columnbreak

        \begin{center}
          \pgfplotstabletypeset[
              sort,
              sort cmp={int <},
              sort key=0,
              columns/0/.style={column name=$h_1 \, (\si{\milli\meter})$},
              columns/1/.style={column name=$h_2 \, (\si{\milli\meter})$}]
              {../data/co2.dat}
          \captionof{table}{Valors obtinguts amb el diòxid de carboni.}
        \end{center}
      \end{multicols}
    \end{minipage}
  \end{center}

  La incertesa de totes les mesures és de $\delta(h_i) = \SI{2}{\milli\meter}$.

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/ar.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica de les dades experimentals i regressió de l'experiment amb l'argó. $\delta(m) = \SI{0.004}{\milli\meter}$}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/aire.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica de les dades experimentals i regressió de l'experiment amb l'aire. $\delta(m) = \SI{0.008}{\milli\meter}$}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/co2.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica de les dades experimentals i regressió de l'experiment amb el diòxid de carboni. $\delta(m) = \SI{0.009}{\milli\meter}$}
  \end{center}

  Per calcular la incertesa en $\gamma$ podem aplicar la propagació d'errors: $\varepsilon(\gamma) = \varepsilon\left(\frac{1}{\gamma}\right) = \varepsilon\left(\frac{1}{1 - \gamma}\right) = \varepsilon(m) \implies \delta(\gamma) = \frac{\varepsilon(\gamma)}{|\gamma|} = \frac{\varepsilon(m)}{|\gamma|} = \frac{\delta(m)}{|m \gamma|} = \delta(m) \left| \frac{1 - m}{m} \right|$

  Aleshores, obtenim els següents valors:

  \begin{center}
    \begin{tabular}{rll}
      \hline
      Gas & $\gamma_{exp}$ & $\delta(\gamma_{exp})$ \\
      \hline
      \hline
      \ch{Ar} & $1.637$ & $0.006$ \\
      Aire & $1.37$ & $0.02$ \\
      \ch{CO_2} & $1.31$ & $0.03$ \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}

  \section{Conclusió}

  En el cas de l'argó i l'aire, la $\gamma_{exp}$ està dins de 2 vegades l'interval de confiança del valor teòric deduït a la secció 2, així que ambdós valors són compatibles.

  En el cas del diòxid del carboni, (Bhattacharjee) proposa el valor $1.289$ com a raó de calor específic. El valor experimental calculat és de $\gamma_{exp} = 1.31 \pm 0.03$, i com el valor de la taula cau dins de l'interval de confiança, ambdós són compatibles.

  \section{Bibliografia}
  (Fermi, 1937): Fermi, Enrico. \textit{Thermodynamics}, Prentice-Hall Company, 1937.

  (Bhattacharjee): Bhattacharjee, S. \textit{The Expert System for Thermodynamics} \textless\url{www.thermofluids.net}\textgreater, San Diego State University.

\end{document}