| \documentclass[11pt,a4paper]{article} |
| \usepackage[utf8x]{inputenc} |
| \usepackage[catalan]{babel} |
| \usepackage{fancyhdr} |
| \usepackage{graphicx} |
| \usepackage[labelfont=bf]{caption} |
| \usepackage{siunitx} |
| \usepackage{geometry} |
| \geometry{top=25mm} |
| \usepackage{amsmath} |
| \usepackage{booktabs} |
| \usepackage{chemformula} |
| \usepackage{multicol} |
| \usepackage{hyperref} |
| |
| \usepackage{pgfplotstable} |
| \pgfplotsset{compat=1.16} |
| \pgfplotstableset{ |
| empty cells with={--}, % replace empty cells with ’--’ |
| every head row/.style={before row=\toprule,after row=\midrule}, |
| every last row/.style={after row=\bottomrule}, |
| set thousands separator={\,}%, |
| %every even row/.style={ |
| %before row={\rowcolor[gray]{0.9}}}, % Add this for stylish tables ;) |
| %begin table=\begin{longtable}, |
| %end table=\end{longtable} |
| } |
| |
| \setlength{\parskip}{1em} |
| |
| \pagestyle{fancy} |
| \fancyhf{} |
| \rhead{Adrià Vilanova Martínez} |
| \lhead{Pràctica 9} |
| \rfoot{\thepage} |
| |
| %%%% Title %%%% |
| \title{\vspace{-2ex}Pràctica 9. Determinació de la conductivitat tèrmica d'un metall\vspace{-2ex}} |
| \author{Adrià Vilanova Martínez (T1B)\vspace{-2ex} } |
| \date{Tardor 2020} |
| |
| \begin{document} |
| \maketitle |
| |
| \section{Objectiu de la pràctica} |
| L'objectiu és determinar la conductivitat tèrmica d'un metall. Això es farà escalfant dues barres de metalls diferents per un extrem. A partir de les equacions de difusió de calor i del fet que coneixem la conductivitat tèrmica d'un dels metalls, es deduirà amb les dades obtingudes per un tercer de l'experiment la conductivitat tèrmica de l'altre metall. |
| |
| El tercer ha realitzat mesures de la temperatura a diferents punts de la barra en diferents moments. Després d'un temps, en un estat estacionari, ha fet mesures més precises de la temperatura a més punts de la barra. De fet, realment el que ha mesurat el tercer no és la temperatura directament, sinó el voltatge d'un termoparell, que és una propietat termomètrica a partir de la qual es pot obtenir la temperatura, a partir del calibratge del termoparell que també ha fet el tercer (la anàlisi d'aquest calibratge està tractada a l'informe de la pràctica 1). |
| |
| La descripció completa i detallada de l'experiment es pot trobar al Guió de Pràctiques de Termodinàmica. |
| |
| \section{Tractament de dades} |
| Les dades utilitzades són les del fitxer \texttt{Mesura 1.xslx}. |
| |
| A partir del calibratge mesurat pel tercer ($\varepsilon = a T + b T^2$ on $a= (3.72 \pm 0.06) \cdot 10^{-2} \, \si{\milli\volt\per\celsius}$, $b= (2.8 \pm 0.6) \cdot 10^{-5} \, \si{\milli\volt\per\celsius\squared}$) es poden convertir els valors de voltatge en temperatura prenent l'arrel positiva de l'equació de segon ordre $- \varepsilon + a T + b T^2 = 0$. Així doncs, la temperatura es pot expressar com: \[ T = \frac{- a + \sqrt{a^2 + 4 b \varepsilon}}{2b} \] |
| |
| Per tal d'obtenir les incerteses associades a la temperatura $t$ a partir de les incerteses de les constants $a$, $b$ i els voltatges $\varepsilon$, es pot fer-ho pensant $T \equiv T(a, b, \varepsilon)$, i per tant usant l'expressió de la incertesa per una funció multivariable: \[ \delta T = \left| \frac{\partial T}{\partial a} \right| \delta a + \left| \frac{\partial T}{\partial b} \right| \delta b + \left| \frac{\partial T}{\partial \varepsilon} \right| \delta \varepsilon \] |
| |
| Si es calculen les derivades parcials s'arriba a les següents expressions: \[ \def\arraystretch{2.2} \left\{ \begin{array}{l} |
| \displaystyle \frac{\partial T}{\partial a} = \frac{a \Delta^{-1} - 1}{2b} \\ |
| \displaystyle \frac{\partial T}{\partial b} = \frac{\varepsilon}{b \Delta} - \frac{\Delta - a}{2 b^2} \\ |
| \displaystyle \frac{\partial T}{\partial \varepsilon} = \Delta^{-1} |
| \end{array} \right. \] on $\Delta := \sqrt{a^2 + 4 b \varepsilon}$ és el discriminant de l'equació de segon grau. |
| |
| Això permet calcular els següents valors de la temperatura en funció del temps i la distància al forn de cada vareta, amb les seves incerteses associades: |
| |
| \textbf{Barra de coure:} |
| |
| \begin{center} |
| \begin{minipage}{\textwidth} |
| \begin{multicols}{2} |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$t \, (\si{\second})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/coure/10.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de coure al punt $x = \SI{10}{\centi\meter}$.} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$t \, (\si{\second})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/coure/20.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de coure al punt $x = \SI{20}{\centi\meter}$.} |
| \end{center} |
| \end{multicols} |
| \end{minipage} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$t \, (\si{\second})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/coure/30.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de coure al punt $x = \SI{30}{\centi\meter}$.} |
| \end{center} |
| |
| \textbf{Barra de ferro:} |
| |
| \begin{center} |
| \begin{minipage}{\textwidth} |
| \begin{multicols}{2} |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$t \, (\si{\second})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/ferro/10.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de ferro al punt $x = \SI{10}{\centi\meter}$.} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$t \, (\si{\second})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/ferro/20.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de ferro al punt $x = \SI{20}{\centi\meter}$.} |
| \end{center} |
| \end{multicols} |
| \end{minipage} |
| \end{center} |
| |
| \textbf{Règim estacionari:} |
| |
| \begin{center} |
| \begin{minipage}{\textwidth} |
| \begin{multicols}{2} |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$x \, (\si{\centi\meter})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/estacionari/coure.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de \textbf{coure} un cop arribat al règim estacionari.} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \pgfplotstabletypeset[ |
| columns/0/.style={column name=$x \, (\si{\centi\meter})$}, |
| columns/1/.style={column name=$\varepsilon \, (\si{\milli\volt})$, fixed, fixed zerofill, precision=2}, |
| columns/2/.style={column name=$T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}, |
| columns/3/.style={column name=$\delta T \, (\si{\celsius})$, fixed, fixed zerofill, precision=1}] |
| {../data/estacionari/ferro.dat} |
| \captionof{table}{Valors per la barra de \textbf{ferro} un cop arribat al règim estacionari.} |
| \end{center} |
| \end{multicols} |
| \end{minipage} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \centering |
| \vspace{-2em} |
| \input{../output/coure.tex} |
| \captionof{figure}{Mesures de la barra de \textbf{coure} a mesura que passa el temps i la barra es va escalfant, amb les incerteses associades. Es pot observar com s'arriba a l'estat estacionari.} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \centering |
| \vspace{-2em} |
| \input{../output/ferro.tex} |
| \captionof{figure}{Mesures de la barra de \textbf{ferro} a mesura que passa el temps i la barra es va escalfant, amb les incerteses associades. Es pot observar com s'arriba a l'estat estacionari.} |
| \end{center} |
| |
| \begin{center} |
| \centering |
| \vspace{-2em} |
| \input{../output/estacionari.tex} |
| \captionof{figure}{Logaritme de la temperatura de les dues barres en l'estat estacionari, en funció de la distància al forn, restada de la temperatura ambient $T_0 = \SI{20}{\celsius}$.} |
| \end{center} |
| |
| Segons la teoria desenvolupada al Guió de Pràctiques, en el règim estacionari es té que $\log \Theta_i = C - \alpha_i x$, i que a partir dels coeficients $\alpha_i$ es pot obtenir una relació entre els coeficients de conductivitat tèrmica d'ambdues barres: \[ \frac{k_F}{k_C} = \left(\frac{\alpha_C}{\alpha_F}\right)^2 \] |
| |
| Per tant, fent un ajust lineal a les dades de l'estat estacionari podem obtenir els dos coeficients $\alpha_i$ i calcular $k_F$ tenint en compte que $k_C = \SI{3.97}{\watt\per\centi\meter\per\kelvin}$. |
| |
| Pels ajusts lineals mostrats a la figura 3 obtenim els següents coeficients: \[ \begin{cases} |
| \alpha_C = (222 \pm 5) \cdot 10^{-4} \, \si{\per\centi\meter} \\ |
| \alpha_F = (53 \pm 2) \cdot 10^{-3} \, \si{\per\centi\meter} \\ |
| \end{cases} \] |
| |
| \section{Conclusió} |
| |
| A partir del desenvolupament anterior s'ha deduït que el coeficient de conductivitat tèrmica del ferro és $k_F = 0.70 \pm 0.05 \, \si{\watt \per \centi\meter \per \kelvin}$. No obstant, segons (CRC) el valor de la conductivitat tèrmica del ferro és de $\SI{0.802}{\watt \per \centi\meter \per \kelvin}$. El valor de la literatura cau aproximadament a 2 marges d'incertesa del valor experimental, i per tant no es pot determinar amb certa confiança si els valors són compatibles o no. |
| |
| Un dels obstacles més grans a l'hora de deduïr el valor de la conductivitat tèrmica ha sigut fitar la corba del ferro a la figura 3, degut al fet que que el comportament lineal del nostre model només es dona experimentalment en valors petits d'$x$. El fet d'escollir quins punts presenten el comportament lineal ha afegit bastanta incertesa addicional (que no s'ha tingut en compte al calcular la incertesa) a la $k_f$. |
| |
| És per aquesta font d'incertesa que probablement els dos valors siguin compatibles, però en tot cas s'hauria de reptir l'experiment per poder assegurar-ho. |
| |
| Un altre punt fluix és el fet que el model utilitzat per l'experiment és un model ideal i per tant no correspon totalment amb la realitat, tal com es pot veure clarament a la figura 3. |
| |
| \section{Bibliografia} |
| |
| (CRC): David R. Lide (ed), \textit{CRC Handbook of Chemistry and Physics, 84th Edition}. CRC Press. Boca Raton, Florida, 2003; Secció 12, Properties of Solids; Thermal and Physical Properties of Pure Metals |
| |
| \end{document} |