\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[labelfont=bf]{caption}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=25mm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{chemformula}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{pgfplotstable}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\pgfplotstableset{
empty cells with={--}, % replace empty cells with ’--’
every head row/.style={before row=\toprule,after row=\midrule},
every last row/.style={after row=\bottomrule}%,
%every even row/.style={
%before row={\rowcolor[gray]{0.9}}}, % Add this for stylish tables ;)
%begin table=\begin{longtable},
%end table=\end{longtable}
}

\setlength{\parskip}{1em}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Adrià Vilanova Martínez}
\lhead{Pràctica 2}
\rfoot{\thepage}

%%%% Title %%%%
\title{\vspace{-2ex}Pràctica 2. Mesura de la calor latent de vaporització de l'aigua\vspace{-2ex}}
\author{Adrià Vilanova Martínez (T1B)\vspace{-2ex} }
\date{Tardor 2020}

\begin{document}
  \maketitle

  \section{Objectiu de la pràctica}
  L'objectiu és mesurar la calor latent de vaporització de l'aigua, és a dir, mesurar l'energia que ha d'absorbir per mol per tal de canviar de fase líquida a gaseosa.

  Per realitzar això, un tercer ha realitzat l'experiment descrit a la següent secció, i en aquest informe s'analitzaran les dades recollides (corresponents a la sèrie 3).

  \section{Procediment experimental}
  El procediment experimental està explicat en detall al Guió de Pràctiques.

  En resum, l'experiment consisteix en el següent: una resistència dissipa calor per l'efecte Joule. Tot i que part d'aquest calor es perd, l'altra part s'absorveix per l'aigua, fet que fa que s'evapori. El vapor es desplaça fins a un tub condensador, fet que fa que es condensi i es reculli en un matràs. A partir de la massa d'aigua que ha caigut al matràs, es pot saber la quantitat d'aigua que s'ha evaporat (que s'aproximarà que és la mateixa).

  \section{Desenvolupament}
  A partir de les dades subministrades (taula \ref{dades_originals}), es pot calcular la potència dissipada per la resistència $P$ i aproximar la velocitat d'evaporació de massa $\dot{m}(t)$. Això es fa mitjançant les següents expressions:
  \begin{equation}
    \label{eq:expressions}
    \begin{cases}
      P = VI \\
      \dot{m}(t) = \dfrac{dm}{dt} \approx \dfrac{\Delta m}{\Delta t}
    \end{cases}
  \end{equation}
  on $V$ i $I$ són el voltatge i intensitat mesurats i $\Delta m$ és la variació de massa en el matràs durant un interval de temps $\Delta t$ donat.

  Segons les dades subministrades, les incerteses en les dades són les següents: \begin{equation}
    \label{eq:incerteses}
    \begin{cases}
      \delta V = \SI{0.1}{\volt} \\
      \delta I = \SI{0.01}{\ampere} \\
      \delta m = \SI{0.01}{\gram}
    \end{cases}
  \end{equation}

  En el cas del temps s'ha pres la incertesa $\delta(\Delta t) = \SI{1}{\second}$, ja que a les dades no s'ha especificat explícitament cap valor de la incertesa. Aquest valor és la incertesa implícita associada a les dades, donat que la resolució és com a màxim d'un segon.

  A partir de les expressions de \eqref{eq:expressions}, es poden determinar les incerteses de $P$ i $\dot{m}(t)$:
  \begin{equation}
    \label{eq:incerteses_expressions}
    \begin{cases}
      \varepsilon_P = \varepsilon_V + \varepsilon_I \implies \delta P = |P| ( \varepsilon_V + \varepsilon_I ) \\
      \varepsilon_{\dot{m}} = \varepsilon_{\Delta m} + \varepsilon_{\Delta t} \implies \delta \dot{m} = |\dot{m}| ( \varepsilon_{\Delta m} + \varepsilon_{\Delta t} ) \\
    \end{cases}
  \end{equation}
  on $\varepsilon_{f}$ és la incertesa relativa del valor $f$.

  Es calcula $\Delta m$ com la diferència entre la massa final al matràs i la inicial (que són les mesures que s'han enregistrat), així que es considera la incertesa de $\Delta m$ com $\delta (\Delta m) = 2 \cdot \delta m$.

  Les dades originals i els valors processats són, doncs, les següents:

  \begin{center}
    \centering
    \begin{tabular}{ccccc}
      \specialrule{.1em}{.05em}{.05em}
      Mesura & $V \, (\si{\volt})$ & $I \, (\si{\ampere})$ & Massa acumulada $m_a \, (\si{\gram})$ & $\Delta t \, (\si{\second})$ \\
      \hline
      1 & 133.1 & 2.58 & 12.22 & 111 \\
      2 & 122.3 & 2.29 & 21.79 & 111 \\
      3 & 121.9 & 2.28 & 34.62 & 149 \\
      4 & 104.6 & 1.94 & 45.20 & 200 \\
      5 & 89.1 & 1.66 & 51.96 & 241 \\
      6 & 75.3 & 1.40 & 57.86 & 603 \\
      7 & 61.7 & 1.13 & 57.91 & 900 \\
      \specialrule{.1em}{.05em}{.05em}
    \end{tabular}

    \captionof{table}{Dades subministrades.}
    \label{dades_originals}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \begin{tabular}{ccccccc}
      \specialrule{.1em}{.05em}{.05em}
      Mesura & $\Delta m \, (\si{\gram})$ & $\delta (\Delta m) \, (\si{\gram})$ & $P \, (\si{\watt})$ & $\delta P \, (\si{\watt})$ & $\dot{m} \, (\si{\gram\per\second})$ & $\delta \dot{m} \, (\si{\gram\per\second})$ \\
      \hline
      1 & 12.22 & 0.02 & 343.4 & 1.6 & 0.1101 & 0.0012 \\
      2 & 9.57 & 0.02 & 280.1 & 1.5 & 0.0862 & 0.0010 \\
      3 & 12.83 & 0.02 & 277.9 & 1.4 & 0.0861 & 0.0007 \\
      4 & 10.58 & 0.02 & 202.9 & 1.2 & 0.0529 & 0.0003 \\
      5 & 6.76 & 0.02 & 147.9 & 1.1 & 0.0281 & 0.0002 \\
      6 & 5.90 & 0.02 & 105.4 & 0.9 & 0.00978 & 0.00004 \\
      7 & 0.05 & 0.02 & 69.7 & 0.7 & 0.00006 & 0.00002 \\
      \specialrule{.1em}{.05em}{.05em}
    \end{tabular}

    \captionof{table}{Valors processats.}
    \label{dades_originals}
  \end{center}

  Seguint el desenvolupament teòric del Guió de Pràctiques, s'arriba a la següent relació:
  \begin{equation}
    \label{eq:regressio}
    P = \dot{m} L + \dot{Q}
  \end{equation}
  on $\dot{Q}$ són les pèrdues de calor per unitat de temps.

  Aleshores, es pot fer una regressió lineal de \eqref{eq:regressio} per obtenir el valor de $L$.

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/graph.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica de les dades amb la regressió lineal. A l'hora de fer la regressió lineal s'ha ignorat la mesura 7, donat que és un outlier.}
  \end{center}

  El valor de $L$ obtingut, amb la incertesa estadística calculada pel gnuplot, és:
  \begin{equation}
    L = (2330 \pm 40) \, \si{\joule\per\gram}
  \end{equation}

  \section{Conclusió}
  S'ha obtingut el valor de la calor latent de vaporització de l'aigua com $L = (2330 \pm 40) \, \si{\joule\per\gram}$. Segons (Cox, J. D. et al.) aquest valor és de $\SI{2257}{\joule\per\gram}$, que entra dins de dues vegades l'interval de confiança del valor experimental trobat. Així doncs, ambdues mesures són compatibles.

  \section{Bibliografia}
  (Cox, J. D. et al.): Cox, J. D., Wagman, D. D., and Medvedev, V. A., \textit{CODATA Key Values for Thermodynamics}, Hemisphere Publishing Corp., New York, 1989.

\end{document}