\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[labelfont=bf]{caption}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=25mm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{booktabs}

\usepackage{pgfplotstable}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\pgfplotstableset{
empty cells with={--}, % replace empty cells with ’--’
every head row/.style={before row=\toprule,after row=\midrule},
every last row/.style={after row=\bottomrule}%,
%every even row/.style={
%before row={\rowcolor[gray]{0.9}}}, % Add this for stylish tables ;)
%begin table=\begin{longtable},
%end table=\end{longtable}
}

\setlength{\parskip}{1em}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Adrià Vilanova Martínez}
\lhead{Pràctica 3}
\rfoot{\thepage}

%%%% Title %%%%
\title{\vspace{-2ex}Pràctica 3. Equivalent mecànic de la calor\vspace{-2ex}}
\author{Adrià Vilanova Martínez (T1B)\vspace{-2ex} }
\date{Tardor 2020}

\begin{document}
  \maketitle

  \section{Objectiu de la pràctica}
  L'objectiu de la pràctica és comprovar l'equivalència entre el treball mecànic i la calor. Això es fa analitzant les dades que resulten de realitzar l'experiment 3 descrit a la guia de les pràctiques de Termodinàmica.

  \section{Gràfiques de les dades}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/exp3/fase1.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra l'evolució de la temperatura durant 300 segons al laboratori abans de començar l'experiment.}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/exp3/fase2_5kg_lent.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra l'evolució de la temperatura abans, durant i després de la realització nº 1 de l'experiment quan la massa que penja és de $M = \SI{5}{\kg}$ i es gira la maneta uniformement 200 cops durant $t = \SI{264}{\s}$.}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/exp3/fase2_5kg_rapid.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra l'evolució de la temperatura abans, durant i després de la realització nº 2 de l'experiment quan la massa que penja és de $M = \SI{5}{\kg}$ i es gira la maneta uniformement 200 cops durant $t = \SI{68}{\s}$.}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/exp4/fase2_1kg_rapid.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra l'evolució de la temperatura abans, durant i després de la realització nº 3 de l'experiment quan la massa que penja és de $M = \SI{1}{\kg}$ i es gira la maneta uniformement 200 cops durant $t = \SI{106}{\s}$.}
  \end{center}

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/exp4/fase2_5kg_rapid.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra l'evolució de la temperatura abans, durant i després de la realització nº 4 de l'experiment quan la massa que penja és de $M = \SI{5}{\kg}$ i es gira la maneta uniformement 200 cops durant $t = \SI{84}{\s}$.}
  \end{center}

  \section{Obtenció del calor específic del cilindre}
  Per tal de trobar el calor específic del cilindre de llautó es calcula el calor que el treball mecànic de la força de fregament hauria transferit a la barra per tal que s'escalfi. Això es fa a partir de la següent fòrmula: \[ W = 2 \pi r n F_R \] on $2 \pi r$ és el perímetre d'una secció transversal del cilindre, $n = 200$ és el nombre de girs complets que fa el cilindre, i $F_R$ és la força de fregament, que es pot calcular com \[ F_R = F_G - F_D \] on $F_G = Mg$ és el pes del bloc lligat al final de la cinta.

  Aleshores, a partir d'aquests valors i la diferència de temperatures inicial i final, $\Delta T$, es calcula la capacitat calorífica total: \[ C_{tot} = \frac{2 \pi r n (M g - F_D)}{\Delta T} \implies M g - F_D = \frac{C_{tot}}{K} \Delta T \] on $K = 2 \pi r n$.

  Fent una regressió lineal de la relació entre $Mg - F_D$ i $\Delta T$ es pot estimar el valor de $\frac{C_{tot}}{K}$.

  \begin{center}
    \pgfplotstabletypeset[
    columns/0/.style={column name=$i$},
    columns/1/.style={column name=$M_i \, (\si{\kilogram})$},
    columns/2/.style={column name=$F_{D_i} \, (\si{\newton})$},
    columns/3/.style={column name=$M_i g - F_{D_i} \, (\si{\newton})$, precision=0},
    columns/4/.style={column name=$\Delta T_i \, (\si{\celsius})$}]
    {table.txt}
    \captionof{table}{Valors obtinguts cada vegada que s'ha executat l'experiment.}
  \end{center}

  S'ha suposat que la incertesa en $M_i$ és menyspreable, que l'incertesa de les $F_D$ és de $\SI{2}{\newton}$ i que la incertesa de les $\Delta T$ és de $2 \cdot 0.2 = \SI{0.4}{\celsius}$.

  \begin{center}
    \centering
    \vspace{-2em}
    \input{../output/regressio.tex}
    \captionof{figure}{Gràfica que mostra la regressió lineal.}
  \end{center}

  Així doncs, $C_{tot} \approx K \cdot 8.2 \approx \SI{232.4}{\joule \per \celsius} = \SI{232.4}{\joule \per \kelvin}$.

  Un cop calculada l'aproximació de la capacitat calorífica total del cilindre, s'ha de treure la contribució de la cinta i el termòmetre, que s'estima és $C' = \SI{8}{\joule \per \kelvin}$. Aleshores, la capacitat calorífica del cilindre serà: \[ c = \frac{1}{m} (C_{tot} - C') \approx \SI{400}{\joule \per \kelvin \per \kilogram} \] on $m = \SI{0.63}{\kilogram}$ és la massa del cilindre.

  Segons el fit que fa gnuplot, la incertesa de $\frac{C_{tot}}{K}$ és de $\SI{1}{\joule \per \kelvin\squared}$, i per tant la incertesa de $c$ és de $1 \cdot \frac{K}{m} \approx \SI{40}{\joule \per \kelvin \per \kilogram}$.

  \section{Conclusió}

  A partir d'una regressió lineal ben ajustada ($r = 0.98$) s'ha determinat que existeix la capacitat calorífica del cilindre de llautó: $c_{exp} = (400 \pm 40) \si{\joule \per \kelvin \per \kilogram}$.

  Segons (Tipler, 1999) la capacitat calorífica del llautó és de $c = \SI{386}{\joule \per \kelvin \per \kilogram}$, que cau dins de l'interval de confiança del valor que s'ha obtingut experimentalment, així que ambdós valors són compatibles.

  \section{Bibliografia}

  (Tipler, 1999): Tipler, Paul A. \textit{Physics for Scientists and Engineers, 4th ed.}, W.H. Freeman, 1999.

\end{document}