\input{../../preamble.tex}

% Changing margins just so the tables fit nicely:
\geometry{
  margin=20mm,
  includeheadfoot,
  heightrounded
}

% Hack because we added fancyhdr in the preamble before setting the margins
% and therefore it doesn't pick up the new margins:
% (this is easier than redefining the preamble, which is already used by
% all the other documents and this is the last one)
\setlength{\headwidth}{\textwidth}

\graphicspath{ {./img/} }

% Electric field colors
\definecolor{fieldBlue}{HTML}{3c78d8}
\definecolor{fieldGreen}{HTML}{6aa84f}

\usepackage{biblatex}
\addbibresource{references.bib}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Víctor Rubio Español, Adrià Vilanova Martínez}
\lhead{Pràctica 6}
\rfoot{\thepage}

%%%% Title %%%%
\title{Pràctica 6. Mesura del camp magnètic terrestre}
\author{Víctor Rubio Español, Adrià Vilanova Martínez (4b, grup C1)}
\date{Primavera 2020}

\begin{document}
  {\parskip=0pt
    \maketitle
  }

  \section{Determinació de la direcció de $B$ amb la ``brúixola d'inclinacions''}

  La inclinació que hem determinat és de:
  \[ D = \SI{50(4)}{\degree}. \]

  \section{Determinació de la component horitzontal del camp magnètic terrestre}
  \subsection{Mètode de la brúixola de tangents}

  \textsc{Nota}: A l'informe s'ha fet el desenvolupament amb els eixos $x$ i $y$ intercanviats respecte del que demana el guió de pràctiques degut a un malentès llegint el guió. Tot i així, el desenvolupament és molt similar i el resultat hauria de ser el mateix.

  \begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{minipage}{0.35\textwidth}
      \centering
      \pgfplotstabletypeset[
          columns={0, 1, 2, 3},
          columns/0/.style={column name=$I \, (\si{\milli\ampere})$, fixed, fixed zerofill, precision=1},
          columns/1/.style={column name=$\alpha \, (\si{\degree})$, fixed, fixed zerofill, precision=0},
          columns/2/.style={column name=$B_b \, (\si{\milli\tesla})$, fixed, fixed zerofill, precision=3},
          columns/3/.style={column name=$\tan(\alpha)$, fixed, fixed zerofill, precision=2}
      ]{../data/6_3_2_1.dat}
      \captionof{table}{Direcció del camp total $\alpha$ en funció de la intensitat del corrent $I$, i els seus valors derivats $B_b = \left( \frac{4}{5} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{\mu_0 N I}{R}$ i $\tan{\alpha}$.}
    \end{minipage}\hfill
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
      \centering
      \input{../output/6_3_2_1.tex}
      \captionof{figure}{Regressió lineal de $B_b$ en funció de $\tan(\alpha)$.}
    \end{minipage}
  \end{figure}

  L'ajust de $B_b(\tan(\alpha)) = a \cdot \tan(\alpha) + b$ per residus quadrats ens dona els següents coeficients:
  \[ \begin{cases}
    a = \SI{-0.0291(19)}{\milli\tesla}, \\
    b = \SI{-0.0004(7)}{\milli\tesla}.
  \end{cases} \]
  Observant que el 0 s'inclou dins de l'interval de confiança de $b$ (que és el valor teòric de $b$), es pot concloure que
  \[ B_h = \frac{B_b}{\tan(\alpha)} = a = \SI{-0.0291(19)}{\milli\tesla}. \]

  \subsection{Mètode del pèndol magnètic}
  \begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \centering
      \pgfplotstabletypeset[
          columns={3, 0, 5, 6},
          columns/3/.style={column name=$T \, (\si{\second})$, fixed, fixed zerofill, precision=2},
          columns/0/.style={column name=$I \, (\si{\milli\ampere})$, fixed, fixed zerofill, precision=1},
          columns/5/.style={column name=${\scriptstyle (-1)^s} \cdot \frac{1}{T^2} \, (\si{\per\second\squared})$, fixed, fixed zerofill, precision=4},
          columns/6/.style={column name=$B_b \, (\si{\milli\tesla})$, fixed, fixed zerofill, precision=3}
      ]{../data/6_3_2_2.dat}
      \captionof{table}{Període d'oscil·lació del pèndol magnètic $T$ en funció de la intensitat de corrent $I$, i els seus valors derivats $(-1)^s \frac{1}{T^2}$ i $B_b$.}
    \end{minipage}\hfill
    \begin{minipage}{0.55\textwidth}
      \centering
      \input{../output/6_3_2_2.tex}
      \captionof{figure}{Regressió lineal de $(-1)^s \dfrac{1}{T^2}$ en funció de $B_b$.}
      \label{fig:grafica2}
    \end{minipage}
  \end{figure}

  L'ajust de $\left((-1)^s \dfrac{1}{T^2}\right)(B_b) = a B_b + b$ per residus quadrats ens dona els següents coeficients:\footnote{A l'expressió $(-1)^s \dfrac{1}{T^2}$, la variable $s$ pren els valors $0$ o $1$ depenent de $T$, de tal forma que les dades graficades a la figura \ref{fig:grafica2} quedin en línia recta.}
  \[ \begin{cases}
    a = \SI{2.341(14)}{\per\milli\tesla\per\second\squared}, \\
    b = \SI{0.0649(7)}{\per\second\squared}.
  \end{cases} \]

  Sabem per la teoria desenvolupada al guió de pràctiques que
  \[ (-1)^s \frac{1}{T^2} = \frac{1}{(2 \pi)^2} \frac{M}{A} [B_h + B_b], \]
  d'on podem identificar
  \[ \left.\begin{array}{l}
    \displaystyle a = \frac{1}{2 \pi}^2 \frac{M}{A}, \\[1em]
    \displaystyle b = \frac{1}{2 \pi}^2 \frac{M}{A} B_h
  \end{array}\right\} \implies B_h = \frac{b}{a} = \SI{0.028(3)}{\milli\tesla}. \]

  \textbf{(Resposta a la pregunta (c))} Observem que a la gràfica de la figura \ref{fig:grafica2} el punt en què la recta talla l'eix de les abscisses ($\frac{1}{T^2} = 0$) és, degut a la fórmula anterior, el punt en què la component horitzontal del camp magnètic de la Terra i el creat artificialment tenen el mateix mòdul:
  \[ |B_h| = |B_b|. \]
  És al voltant d'aquest punt on no hem pogut prendre mesures, ja que al voltant d'aquests punts el període és massa gran i per tant la fricció fa que l'agulla no completi cap oscil·lació, o si en fa 1 no podem negligir aquests efectes de fricció.

  \section{Conclusió}
  \textbf{(Resposta a la pregunta (d))} Segons les dades del \textit{World Magnetic Model for 2020-2025},\cite{https://doi.org/10.25923/ytk1-yx35} la component horitzontal del camp magnètic al voltant de Barcelona és de $\SI{2.5e-5}{\tesla}$. Vegem si els valors que hem trobat són compatibles entre ells, i si ho són també amb el valor de la bibliografia.

  Primer de tot, establim el següent test d'hipòtesi, on la hipòtesi nul·la (el que ens agradaria acceptar o rebutjar) és el fet que les dues mesures siguin compatibles:
  \[ \begin{cases}
    H_0: |B_h^\text{(1)}| - |B_h^\text{(2)}| = 0, \\
    H_1: |B_h^\text{(1)}| - |B_h^\text{(2)}| \neq 0.
  \end{cases} \]
  Veiem que $|B_h^\text{(1)}| - |B_h^\text{(2)}| = \SI{1(5)e-5}{\tesla}$ i, com el $0$ està dins de l'interval de confiança, acceptem la hipòtesi nul·la, és a dir, acceptem que les dues mesures siguin compatibles.

  Ara establim el següent test d'hipòtesi per veure si cadascuna de les mesures és compatible amb el valor de la bibliografia:
  \[ \begin{cases}
    H_0: |B_h^\text{(i)}| = B_h^\text{(WMM)}, \\
    H_1: |B_h^\text{(i)}| \neq B_h^\text{(WMM)}.
  \end{cases} \]

  Veiem que per la primera mesura tenim l'interval de confiança $|B_h^\text{(1)}| \in (2.53, 3.29) \, \times 10^{-5} \si{\tesla}$ (prenent dues desviacions tipus per tenir una confiança de $1 - \alpha = 0.95$). El valor de la bibliografia no cau dins de l'interval de confiança així que hauríem de rebutjar que els valors siguin compatibles, però donat que cau molt a prop del límit inferior (amb una confiança lleugerament més alta cauria dins), sota un criteri més lax podríem acceptar aquesta compatibilitat.

  Per la segona mesura tenim l'interval de confiança $|B_h^\text{(2)}| \in (2.2, 3.4) \, \times 10^{-5} \si{\tesla}$ (calculat de la mateixa manera que abans), i el valor de la bibliografia aquest cop sí que cau dins així que són compatibles ambdós valors.

  Per tant, podem concloure que amb aquests 2 experiments hem conseguit una bastant bona aproximació de la component horitzontal del camp magnètic terrestre.

  \textbf{(Resposta a la pregunta (e))} A partir de la component horitzontal calculada al segon experiment i la inclinació mesurada al principi, podem calcular el mòdul del camp magnètic terrestre amb trigonometria:
  \[ ||\vec{B}|| = \frac{B_h}{\cos(D)} = \SI{4.4(6)e-5}{\tesla}. \]
  Com a referència, la intensitat total del camp magnètic segons les dades del mateix model és d'aproximadament $\SI{4.55e-5}{\tesla}$ al voltant de Barcelona,\cite{https://doi.org/10.25923/ytk1-yx35} valor que cau dins d'una desviació tipus del valor calculat a partir de les nostres observacions.

  \printbibliography

\end{document}