| % !TEX root = main.tex |
| \chapter{Relativitat especial} |
| |
| \section{Introducció} |
| |
| \begin{defi}[Sistema de Referència Inercial] |
| Un \underline{sistema de referència inercial} (SRI) és un sistema de referència tal que: |
| \begin{enumerate}[a)] |
| \item Les relacions espacials són les de l'espai euclidià $E_3$. |
| \item Hi ha un temps universal mesurat per rellotges a cada punt del SRI respecte del cual $\frac{\dif \vec{x}}{\dif t} = \text{const.}$ per partícules lliures (1a llei de Newton). |
| \end{enumerate} |
| \end{defi} |
| |
| \begin{defi}[Axiomes de la relativitat especial] |
| Axiomes de la relativitat especial: |
| \begin{enumerate} |
| \item Les lleis de la física són les mateixes a tots els SRI. |
| \item Principi de la constància de la velocitat de la llum. $\exists$ al menys 1 SRI en el qual els raigs de la llum es propagen a velocitat $c$ en moviment rectilini independentment de la direcció i velocitat de la font. |
| \end{enumerate} |
| \end{defi} |
| |
| \begin{col} |
| L'espai és homogeni i isòtrop, i el temps és homogeni. A més, la llum viatja a velocitat $c$ a tots els SRI (llei d'Einstein). |
| \end{col} |
| |
| \begin{defi}[Esdeveniment] |
| Un \underline{esdeveniment} és un punt en l'espai-temps que en un sistema de referència donat té coordenades $x^\mu = (x^0, x, y, z) = (ct, x, y, z)$. |
| \end{defi} |
| |
| \begin{prop} |
| Les transformacions entre SRIs són les del \underline{grup de Poincaré}: el grup generat per: |
| \begin{itemize} |
| \item Translacions espacials, |
| \item Rotacions espacials, |
| \item Translacions temporals, |
| \item Boosts de Lorentz. |
| \end{itemize} |
| \end{prop} |
| |
| \section{Boost de Lorentz} |
| |
| \begin{defi}[Boost de Lorentz en configuració estàndard] |
| El boost de Lorentz en configuració estàndard és la transformació: |
| \[ \begin{pmatrix} |
| {x^0}' \\ |
| x' \\ |
| y' \\ |
| z' |
| \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} |
| \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\ |
| - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 |
| \end{pmatrix}}_{\Lambda} \begin{pmatrix} |
| x^0 \\ |
| x \\ |
| y \\ |
| z |
| \end{pmatrix}, \] |
| que representa la transformació entre dos SRIs $S$ i $S'$ tals que: |
| \begin{enumerate}[i)] |
| \item $\vec{v} = (v, 0, 0)$. |
| \item A $t = t' = 0$, els dos orígens coincideixen. |
| \item El pla $y = 0$ coincideix amb el pla $y' = 0$, i anàlogament amb $z$ i $z'$. |
| \item $x' = 0 \iff x = vt$. |
| \item Sota inversions XZ la transformació segueix sent vàlida. |
| \end{enumerate} |
| \end{defi} |
| |
| \begin{defi}[Factors relativistes] |
| Per conveniència, definim: |
| \[ \beta := \frac{v}{c}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.\] |
| \end{defi} |
| |
| \begin{obs} |
| Per obtenir el boost en configuració estàndard invers, fem el canvi $v \rightarrow -v$ i, per tant, obtenim: |
| \[ \Lambda^{-1} = \begin{pmatrix} |
| \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ |
| \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 |
| \end{pmatrix}. \] |
| \end{obs} |
| |
| \begin{obs} |
| Propietats del boost de Lorentz en configuració estàndard: |
| \begin{enumerate}[a)] |
| \item El límit galileà correspon a $\beta \ll 1$ i distàncies $|\Delta x| \ll |\Delta x^0|$. |
| \item La simultaneitat no és absoluta. |
| \item $|v| \to c \implies |\beta| \to 1 \implies \gamma \to \infty$. Així doncs, $\gamma \in [1, \infty]$. |
| \end{enumerate} |
| \end{obs} |
| |
| \subsection{Formulació hiperbòlica} |
| \begin{defi} |
| Donat que $\beta \in (-1, 1)$, definim la \underline{rapidesa} com el valor $\phi$ tal que: |
| \[ \beta = \tanh(\phi). \] |
| \end{defi} |
| |
| \begin{obs} |
| Observem que $\phi \in (- \infty, + \infty)$, i que: |
| \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \phi}} = \cosh \phi. \] |
| Per tant: |
| \[ \begin{pmatrix} |
| \Delta {x^0}' \\ |
| \Delta x' |
| \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} |
| \cosh \phi & \sinh \phi \\ |
| \sinh \phi & \cosh \phi |
| \end{pmatrix}}_{\Lambda_\phi} \begin{pmatrix} |
| \Delta x^0 \\ |
| \Delta x |
| \end{pmatrix} \] |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop} |
| Si composem dues transformacions $\Lambda_{\phi_1}$, $\Lambda_{\phi_2}$, aleshores: |
| \[ \Lambda_{\phi_1} \circ \Lambda_{\phi_2} = \begin{pmatrix} |
| \cosh (\phi_1 + \phi_2) & \sinh (\phi_1 + \phi_2) \\ |
| \sinh (\phi_1 + \phi_2) & \cosh (\phi_1 + \phi_2) |
| \end{pmatrix} = \Lambda_{\phi_1 + \phi_2}. \] |
| |
| A més: |
| \[ \beta = \frac{\beta_1 + \beta_2}{1 + \beta_1 \beta_2}. \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{obs} |
| Per tant, la composició de boosts en configuració estàndard ens dona un altre boost en configuració estàndard. Però la composició de boosts qualsevols no és un altre boost en general. |
| \end{obs} |
| |
| \begin{defi}[Interval] |
| Donats dos esdeveniments $A$, $B$, el seu \underline{interval} ve definit per: |
| \[ (\Delta s)^2 := (\Delta x^0)^2 - (\Delta \vec{x})^2. \] |
| |
| Diem que: |
| \begin{itemize} |
| \item És de \underline{tipus temps} si $(\Delta s)^2 > 0$, |
| \item És de \underline{tipus nul/llum} si $(\Delta s)^2 = 0$, |
| \item És de \underline{tipus espai} si $(\Delta s)^2 < 0$. |
| \end{itemize} |
| \end{defi} |
| |
| \section{Diagrames d'espai-temps} |
| |
| \begin{prop}[Contracció de longituds] |
| \[ L = \frac{1}{\gamma} L_0, \] |
| on $L_0$ és la longitud pròpia (al sistema $S'$). |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop}[Dilatació del temps] |
| \[ \Delta t = \gamma \Delta \tau, \] |
| on $\Delta \tau$ és el temps propi (al sistema $S'$). |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop} |
| El temps propi per un rellotge amb una trajectòria donada es calcula com: |
| \[ \Delta \tau = \int_A^B \frac{\dif t}{\gamma (t)}. \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{obs} |
| Si $\gamma < 1$, aleshores: $\Delta \tau < \Delta t$. |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop}[Composició de velocitats (en 3D)] |
| Siguin $S$, $S'$ SRIs tals que $S'$ es mou a velocitat $\vec{v}$ relativa a $S$. Sigui $\vec{u}$ la trivelocitat d'una partícula en $S$, i $\vec{u}'$ en $S'$. Aleshores: |
| \[ c^2 - (\vec{u}')^2 = \frac{c^2}{\gamma_u^2 \gamma_v^2 \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right)^2} \implies \gamma_{u'} = \gamma_u \gamma_v \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right). \] |
| |
| La segona fórmula només és vàlida si $|| \vec{u} || < c$. |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop} |
| En 1 dimensió: |
| \[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}}; \qquad u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}}. \] |
| \end{prop} |
| |
| \section{Òptica relativista} |
| \begin{prop}[Efecte Doppler] |
| Siguin $S$ i $S'$ SRIs, i sigui $\vec{u}$ la velocitat d'un emissor que emet una ona de freqüència $\nu'$ a $S'$ ($\nu$ a $S$). Sigui $\hat{k}$ el vector que va de l'emissor a l'observador normalitzat. Definim $\vec{\beta}_u := \frac{1}{c} \vec{u}$. |
| |
| Aleshores, la freqüència pròpia és: |
| \[ \nu' = \gamma_u (1 - \vec{\beta}_u \cdot \hat{k}) \nu. \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{obs} |
| En 1 dimensió, la fórmula esdevé: |
| \[ \nu' = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \nu. \] |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop}[Aberració (addició de velocitats)] |
| Siguin $S$, $S'$ dos SRIs de dues dimensions espacials en configuració estàndard. Sigui $\vec{u}$ la velocitat d'una partícula que es mou cap a l'orígen de $S$, on és un observador. Sigui $\alpha$ l'angle que fa la recta generada per $\vec{u}$ amb l'eix $X$, i $\alpha$ l'angle de $\langle \vec{u}' \rangle$ amb l'eix $X' = X$. Aleshores: |
| \[ \tan\left( \frac{\alpha'}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right). \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{obs} |
| Considerem alguns límits de la fórmula anterior: |
| |
| \begin{itemize} |
| \item \underline{$\beta \ll 1$}: $\Delta \alpha' = - \beta \sin \alpha$. |
| \item \underline{$\gamma \gg 1$}: $\tan \left( \frac{\alpha'}{2} \right) \approx \frac{1}{2 \gamma} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)$. |
| \end{itemize} |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop}[Arrossegament de Fresnel] |
| Sigui $u'$ la velocitat de la llum en aigua en repòs, i sigui $v$ la velocitat de l'aigua en un tub. Sigui $n := c/u' > 1$ l'índex de refracció. Aleshores, la velocitat d'un fotó vista des del SRI $S$ és: |
| \[ u = u' + \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)}_{K} v + O(v^2), \] |
| on anomenem $K$ el coeficient d'arrossegament. |
| \end{prop} |
| |
| \section{Moviment uniformement accelerat} |
| |
| En aquesta secció, considerarem un espai unidimensional. |
| |
| \begin{defi} |
| En el context de la relativitat especial, un \underline{moviment uniformement accelerat} és un moviment on l'acceleració pròpia és constant. |
| |
| L'\underline{acceleració pròpia} es defineix com l'acceleració de la partícula en el \underline{sistema comòbil} en cada instant de temps, és a dir, l'SRI que es mou a la mateixa velocitat que la partícula en aquest instant de temps. |
| \end{defi} |
| |
| \begin{prop} |
| Sigui $\alpha = \frac{du'}{dt'}$ l'acceleració pròpia d'una partícula en moviment uniformement accelerat (on el sistema $S'$ és el sistema comòbil en cada instant). |
| |
| Aleshores: |
| \[ \alpha = \gamma_u^3 \frac{du}{dt}. \] |
| |
| A més, la trajectòria descrita per la partícula és la hipèrbola |
| \[ (x - x_0)^2 - c^2 (t - t_0)^2 = \frac{c^4}{\alpha^2} =: l^2, \] |
| que es pot parametritzar per: |
| \[ \begin{cases} |
| x^0 = ct_0 + l \sinh (c \tau / l ), \\ |
| x = x_0 + l \cosh (c \tau / l ). |
| \end{cases} \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{center} |
| \begin{tikzpicture} |
| \begin{axis}[ |
| axis lines = middle, |
| xlabel = $X$, |
| xlabel style = {anchor = south west}, |
| ylabel = $X^0$, |
| ylabel style = {anchor = north west}, |
| xmin = 0, |
| xmax = 4, |
| ymin = 0, |
| ymax = 3, |
| ] |
| \addplot[color = green, thick, dotted]{x + 0.5}; |
| \addplot[color = green, thick, dotted]{-x + 2.5}; |
| \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({1 + 0.7*cosh(x)}, {1.5 + 0.7*sinh(x)}); |
| \draw (axis cs:1, 1.5) -- node[below]{$l$} (axis cs:1.7, 1.5); |
| \end{axis} |
| \end{tikzpicture} |
| \end{center} |
| |
| \begin{obs} |
| $l$ és la distància mínima entre el centre de la hipèrbola i la hipèrbola. Quant més gran és, menor és $\alpha$. I quant més petita és, major és $\alpha$. |
| \end{obs} |
| \begin{obs} |
| Paradoxa: perquè un regle no es deformi, la part de darrere ha d'accelerar més que la de davant (si acceleren iguals es deforma). |
| \end{obs} |
| |
| \begin{center} |
| \begin{tikzpicture} |
| \begin{axis}[ |
| axis lines = middle, |
| xlabel = $X$, |
| xlabel style = {anchor = south west}, |
| ylabel = $X^0$, |
| ylabel style = {anchor = north west}, |
| xmin = 0, |
| xmax = 1.4, |
| ymin = -1.4, |
| ymax = 1.4, |
| width = 7cm, |
| height = 7cm |
| ] |
| \addplot[color = green, thick, dotted]{x}; |
| \addplot[color = green, thick, dotted]{-x}; |
| \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({0.5*cosh(x)}, {0.5*sinh(x)}); |
| \addplot[domain = -1:1, smooth, color = red] ({cosh(x)}, {sinh(x)}); |
| \end{axis} |
| \end{tikzpicture} |
| \end{center} |
| |
| \section{Boost de Lorentz general} |
| \begin{obs} |
| El boost de Lorentz general és: |
| \[ \begin{cases} |
| \displaystyle {x^0}' = \gamma(x^0 - \vec{\beta} \cdot \vec{r}), \\[0.5em] |
| \displaystyle \vec{r}' = \vec{r} + \vec{\beta} \left\{ \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{r}}{\beta^2} (\gamma - 1) - \gamma x^0 \right\}. |
| \end{cases} \] |
| \end{obs} |
| |
| \section{Espai de Minkowski} |
| \begin{defi} |
| L'espai de Minkowski $M^4$ és l'espai $\mathbb{R}^4$ amb la mètrica |
| \[ g := \tilde{\dif x}^0 \otimes \tilde{\dif x}^0 - \tilde{\dif x} \otimes \tilde{\dif x} - \tilde{\dif y} \otimes \tilde{\dif y} - \tilde{\dif z} \otimes \tilde{\dif z}. \] |
| \end{defi} |
| |
| \begin{defi} |
| La \underline{quadrivelocitat} és un vector de l'espai de Minkowski que té components: |
| \[ U^\mu := \frac{\dif x^\mu}{\dif \tau} = \gamma (c, \vec{u}). \] |
| \end{defi} |
| |
| \begin{defi} |
| La \underline{quadriacceleració} és un vector de l'espai de Minkowski amb components: |
| \[ A^\mu := \frac{\dif U^\mu}{\dif \tau} = \gamma \frac{\dif U^\mu}{\dif t} = \gamma (c \dot{\gamma}, \dot{\gamma} + \gamma \vec{a}), \] |
| on $\vec{a} := \frac{\dif \vec{u}}{\dif t}$. |
| \end{defi} |
| |
| \begin{obs} |
| Observem que $\dot{\gamma} = \gamma^3 \vec{u} \cdot \vec{a}$, així que: |
| \[ A^\mu = 0 \iff \vec{a} = 0. \] |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop} |
| L'acceleració pròpia és \[ \alpha^2 = \gamma^6 \frac{(\vec{u} \cdot \vec{a})^2}{c^2} + \gamma^4 a^2 = \gamma^6 \left[ a^2 - \frac{(\vec{u} \cross \vec{a})}{c^2} \right]. \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{obs} |
| Considerem 2 casos específics: |
| \begin{itemize} |
| \item \underline{Acceleració lineal} ($\vec{u} \parallel \vec{a}$): $\alpha = \gamma^3 a$. |
| \item \underline{Acceleració circular} ($\vec{u} \perp \vec{a}$): $\alpha = \gamma^2 a$. |
| \end{itemize} |
| \end{obs} |
| |
| \begin{prop} |
| $U \cdot A = 0$ (sota el producte escalar de l'espai de Minkowski). |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop}[Producte escalar de quadrivelocitats] |
| Siguin $U_1$, $U_2$ dues quadrivelocitats (de 2 partícules en l'espai de Minkowski). Aleshores: |
| \[ \frac{U_1 \cdot U_2}{c^2} = \gamma = \cosh \phi. \] |
| \end{prop} |
| |
| \section{Dinàmica relativista} |
| Per desenvolupar la dinàmica relativista tenim en compte 2 postulats: |
| \begin{enumerate} |
| \item Les lleis han de ser vàlides en tot SRI. |
| \item En el límit $\beta \ll 1$ hem de recuperar les lleis newtonianes. |
| \end{enumerate} |
| |
| \subsection{Teoria de co\lgem isions} |
| \begin{defi} |
| El \underline{quadrimoment} és: |
| \[ P^\mu := m \gamma (c, \vec{u}) = (p^0, \vec{p}), \] |
| on $\vec{p} = m \gamma \vec{u}$. |
| \end{defi} |
| |
| \begin{prop} |
| $P \cdot P \equiv P^2$ és invariant. |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop} |
| El \underline{principi de conservació de l'energia} és: |
| \begin{enumerate}[a)] |
| \item $E = m \gamma c^2$, |
| \item $\sum^* P_r^\mu = 0$, on $\sum^* = \sum_r^{(in)} - \sum_r^{(out)}$. |
| \end{enumerate} |
| \end{prop} |
| |
| \begin{col} |
| El quadrimoment per tant es pot expressar com: |
| \[ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right). \] |
| \end{col} |
| |
| \begin{obs} |
| Quan $\gamma \approx 1$, $E \approx mc^2$. |
| \end{obs} |
| |
| \begin{defi} |
| Definim l'\underline{energia cinètica} com: |
| \[ T := mc^2 (\gamma - 1). \] |
| \end{defi} |
| |
| \subsection{Sistema aïllat de partícules} |
| Sigui $P_{tot}^\mu = \sum_a P_a^\mu$. Aleshores, definim: |
| \[ \vec{v}_{cm} := \frac{\vec{P}_{tot}}{P^0_{tot}} \] |
| Si $P_{tot}^\mu = M_{tot} \cdot V_{cm}^\mu$, aleshores: |
| \[ V_{cm}^\mu = \gamma_{cm} (c, \vec{v}_{cm}) \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^0}{\gamma_{cm} \cdot c}. \] |
| |
| En el SRI del CM $S'$, tindrem: |
| \[ \left. \begin{array}{r} |
| V_{cm}^{\mu'} = (c, \vec{0}) \\ |
| P_{tot}^{0'} = \sum_a m_a \gamma_a' c |
| \end{array} \right\} \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^{0'}}{c} = \sum_a m_a \gamma_a'. \] |
| |
| \subsection{Boosts en una direcció arbitrària} |
| |
| \begin{prop} |
| L'energia d'una partícula de quadrimoment $P$ vista per un observador amb quadrivelocitat $V$ és: |
| \[ E' = V_\mu P^\mu = V \cdot P. \] |
| \end{prop} |
| |
| \subsection{Partícules sense massa} |
| \begin{defi} |
| El \underline{quadrimoment} d'una partícula sense massa és: |
| \[ K^\mu = \frac{E}{c} (1, \hat{k}), \] |
| on $\hat{k} := \vec{u}/c$. Observem $K^2 = 0$. |
| \end{defi} |
| |
| \begin{prop}[Efecte Doppler] |
| Sigui $E = h \nu$ l'energia d'un fotó. Aleshores: |
| \[ \nu' = \gamma (1 - \vec{\beta} \cdot \hat{k}) \nu. \] |
| \end{prop} |
| |
| \begin{prop}[Aberració en configuració estàndard] |
| Tenim: |
| \[ \hat{\beta} \hat{k}' = \frac{\hat{\beta} \hat{k} - \beta}{1 - \vec{\beta} \hat{k}}. \] |
| \end{prop} |
| |
| \subsection{Efecte Compton} |
| L'efecte Compton descriu col·lisions del tipus $e^- + \gamma \rightarrow e^- + \gamma$. Ens diu que la diferència de les longituds d'ona sortint i entrant és: |
| \[ \Delta \lambda = (\lambda_2 - \lambda_1) = \underbrace{\frac{h}{m_e c}}_{\lambda_C} (1 - \cos \theta), \] |
| on $\lambda_C$ s'anomena la longitud d'ona Compton. |