Add electrodinàmica resum
Add a summary of the special relativity chapter.
Change-Id: I1d002335b853f2bccb15b080683dac4a2990330e
diff --git a/quad9/electrodinamica/resum/.gitignore b/quad9/electrodinamica/resum/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..120e611
--- /dev/null
+++ b/quad9/electrodinamica/resum/.gitignore
@@ -0,0 +1,2 @@
+*.pdf
+figures/
diff --git a/quad9/electrodinamica/resum/main.tex b/quad9/electrodinamica/resum/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..26950c2
--- /dev/null
+++ b/quad9/electrodinamica/resum/main.tex
@@ -0,0 +1,24 @@
+\documentclass[12pt,catalan]{notes}
+
+\usepackage{apuntsgenerics}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\setlength{\parskip}{1em}
+
+% Tensor commands:
+\newcommand*{\TT}[1]{\bar{\bar{#1}}}
+
+\title{\vspace{-.5em}Resum electrodinàmica}
+\author{Adrià Vilanova Martínez\vspace{-2em}}
+
+\titlemonth{Semestre tardor curs 2021-22}
+
+\begin{document}
+
+\makecover
+
+\input{tema1.tex}
+
+%\printindex
+
+\end{document}
diff --git a/quad9/electrodinamica/resum/tema1.tex b/quad9/electrodinamica/resum/tema1.tex
new file mode 100644
index 0000000..ff36dc8
--- /dev/null
+++ b/quad9/electrodinamica/resum/tema1.tex
@@ -0,0 +1,416 @@
+% !TEX root = main.tex
+\chapter{Relativitat especial}
+
+\section{Introducció}
+
+\begin{defi}[Sistema de Referència Inercial]
+ Un \underline{sistema de referència inercial} (SRI) és un sistema de referència tal que:
+ \begin{enumerate}[a)]
+ \item Les relacions espacials són les de l'espai euclidià $E_3$.
+ \item Hi ha un temps universal mesurat per rellotges a cada punt del SRI respecte del cual $\frac{\dif \vec{x}}{\dif t} = \text{const.}$ per partícules lliures (1a llei de Newton).
+ \end{enumerate}
+\end{defi}
+
+\begin{defi}[Axiomes de la relativitat especial]
+ Axiomes de la relativitat especial:
+ \begin{enumerate}
+ \item Les lleis de la física són les mateixes a tots els SRI.
+ \item Principi de la constància de la velocitat de la llum. $\exists$ al menys 1 SRI en el qual els raigs de la llum es propagen a velocitat $c$ en moviment rectilini independentment de la direcció i velocitat de la font.
+ \end{enumerate}
+\end{defi}
+
+\begin{col}
+ L'espai és homogeni i isòtrop, i el temps és homogeni. A més, la llum viatja a velocitat $c$ a tots els SRI (llei d'Einstein).
+\end{col}
+
+\begin{defi}[Esdeveniment]
+ Un \underline{esdeveniment} és un punt en l'espai-temps que en un sistema de referència donat té coordenades $x^\mu = (x^0, x, y, z) = (ct, x, y, z)$.
+\end{defi}
+
+\begin{prop}
+ Les transformacions entre SRIs són les del \underline{grup de Poincaré}: el grup generat per:
+ \begin{itemize}
+ \item Translacions espacials,
+ \item Rotacions espacials,
+ \item Translacions temporals,
+ \item Boosts de Lorentz.
+ \end{itemize}
+\end{prop}
+
+\section{Boost de Lorentz}
+
+\begin{defi}[Boost de Lorentz en configuració estàndard]
+ El boost de Lorentz en configuració estàndard és la transformació:
+ \[ \begin{pmatrix}
+ {x^0}' \\
+ x' \\
+ y' \\
+ z'
+ \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
+ \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\
+ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 1 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 1
+ \end{pmatrix}}_{\Lambda} \begin{pmatrix}
+ x^0 \\
+ x \\
+ y \\
+ z
+ \end{pmatrix}, \]
+ que representa la transformació entre dos SRIs $S$ i $S'$ tals que:
+ \begin{enumerate}[i)]
+ \item $\vec{v} = (v, 0, 0)$.
+ \item A $t = t' = 0$, els dos orígens coincideixen.
+ \item El pla $y = 0$ coincideix amb el pla $y' = 0$, i anàlogament amb $z$ i $z'$.
+ \item $x' = 0 \iff x = vt$.
+ \item Sota inversions XZ la transformació segueix sent vàlida.
+ \end{enumerate}
+\end{defi}
+
+\begin{defi}[Factors relativistes]
+ Per conveniència, definim:
+ \[ \beta := \frac{v}{c}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.\]
+\end{defi}
+
+\begin{obs}
+ Per obtenir el boost en configuració estàndard invers, fem el canvi $v \rightarrow -v$ i, per tant, obtenim:
+ \[ \Lambda^{-1} = \begin{pmatrix}
+ \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\
+ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 1 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 1
+ \end{pmatrix}. \]
+\end{obs}
+
+\begin{obs}
+ Propietats del boost de Lorentz en configuració estàndard:
+ \begin{enumerate}[a)]
+ \item El límit galileà correspon a $\beta \ll 1$ i distàncies $|\Delta x| \ll |\Delta x^0|$.
+ \item La simultaneitat no és absoluta.
+ \item $|v| \to c \implies |\beta| \to 1 \implies \gamma \to \infty$. Així doncs, $\gamma \in [1, \infty]$.
+ \end{enumerate}
+\end{obs}
+
+\subsection{Formulació hiperbòlica}
+\begin{defi}
+ Donat que $\beta \in (-1, 1)$, definim la \underline{rapidesa} com el valor $\phi$ tal que:
+ \[ \beta = \tanh(\phi). \]
+\end{defi}
+
+\begin{obs}
+ Observem que $\phi \in (- \infty, + \infty)$, i que:
+ \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \phi}} = \cosh \phi. \]
+ Per tant:
+ \[ \begin{pmatrix}
+ \Delta {x^0}' \\
+ \Delta x'
+ \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
+ \cosh \phi & \sinh \phi \\
+ \sinh \phi & \cosh \phi
+ \end{pmatrix}}_{\Lambda_\phi} \begin{pmatrix}
+ \Delta x^0 \\
+ \Delta x
+ \end{pmatrix} \]
+\end{obs}
+
+\begin{prop}
+ Si composem dues transformacions $\Lambda_{\phi_1}$, $\Lambda_{\phi_2}$, aleshores:
+ \[ \Lambda_{\phi_1} \circ \Lambda_{\phi_2} = \begin{pmatrix}
+ \cosh (\phi_1 + \phi_2) & \sinh (\phi_1 + \phi_2) \\
+ \sinh (\phi_1 + \phi_2) & \cosh (\phi_1 + \phi_2)
+ \end{pmatrix} = \Lambda_{\phi_1 + \phi_2}. \]
+
+ A més:
+ \[ \beta = \frac{\beta_1 + \beta_2}{1 + \beta_1 \beta_2}. \]
+\end{prop}
+
+\begin{obs}
+ Per tant, la composició de boosts en configuració estàndard ens dona un altre boost en configuració estàndard. Però la composició de boosts qualsevols no és un altre boost en general.
+\end{obs}
+
+\begin{defi}[Interval]
+ Donats dos esdeveniments $A$, $B$, el seu \underline{interval} ve definit per:
+ \[ (\Delta s)^2 := (\Delta x^0)^2 - (\Delta \vec{x})^2. \]
+
+ Diem que:
+ \begin{itemize}
+ \item És de \underline{tipus temps} si $(\Delta s)^2 > 0$,
+ \item És de \underline{tipus nul/llum} si $(\Delta s)^2 = 0$,
+ \item És de \underline{tipus espai} si $(\Delta s)^2 < 0$.
+ \end{itemize}
+\end{defi}
+
+\section{Diagrames d'espai-temps}
+
+\begin{prop}[Contracció de longituds]
+ \[ L = \frac{1}{\gamma} L_0, \]
+ on $L_0$ és la longitud pròpia (al sistema $S'$).
+\end{prop}
+
+\begin{prop}[Dilatació del temps]
+ \[ \Delta t = \gamma \Delta \tau, \]
+ on $\Delta \tau$ és el temps propi (al sistema $S'$).
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+ El temps propi per un rellotge amb una trajectòria donada es calcula com:
+ \[ \Delta \tau = \int_A^B \frac{\dif t}{\gamma (t)}. \]
+\end{prop}
+
+\begin{obs}
+ Si $\gamma < 1$, aleshores: $\Delta \tau < \Delta t$.
+\end{obs}
+
+\begin{prop}[Composició de velocitats (en 3D)]
+ Siguin $S$, $S'$ SRIs tals que $S'$ es mou a velocitat $\vec{v}$ relativa a $S$. Sigui $\vec{u}$ la trivelocitat d'una partícula en $S$, i $\vec{u}'$ en $S'$. Aleshores:
+ \[ c^2 - (\vec{u}')^2 = \frac{c^2}{\gamma_u^2 \gamma_v^2 \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right)^2} \implies \gamma_{u'} = \gamma_u \gamma_v \left( 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2} \right). \]
+
+ La segona fórmula només és vàlida si $|| \vec{u} || < c$.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+ En 1 dimensió:
+ \[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}}; \qquad u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}}. \]
+\end{prop}
+
+\section{Òptica relativista}
+\begin{prop}[Efecte Doppler]
+ Siguin $S$ i $S'$ SRIs, i sigui $\vec{u}$ la velocitat d'un emissor que emet una ona de freqüència $\nu'$ a $S'$ ($\nu$ a $S$). Sigui $\hat{k}$ el vector que va de l'emissor a l'observador normalitzat. Definim $\vec{\beta}_u := \frac{1}{c} \vec{u}$.
+
+ Aleshores, la freqüència pròpia és:
+ \[ \nu' = \gamma_u (1 - \vec{\beta}_u \cdot \hat{k}) \nu. \]
+\end{prop}
+
+\begin{obs}
+ En 1 dimensió, la fórmula esdevé:
+ \[ \nu' = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \nu. \]
+\end{obs}
+
+\begin{prop}[Aberració (addició de velocitats)]
+ Siguin $S$, $S'$ dos SRIs de dues dimensions espacials en configuració estàndard. Sigui $\vec{u}$ la velocitat d'una partícula que es mou cap a l'orígen de $S$, on és un observador. Sigui $\alpha$ l'angle que fa la recta generada per $\vec{u}$ amb l'eix $X$, i $\alpha$ l'angle de $\langle \vec{u}' \rangle$ amb l'eix $X' = X$. Aleshores:
+ \[ \tan\left( \frac{\alpha'}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right). \]
+\end{prop}
+
+\begin{obs}
+ Considerem alguns límits de la fórmula anterior:
+
+ \begin{itemize}
+ \item \underline{$\beta \ll 1$}: $\Delta \alpha' = - \beta \sin \alpha$.
+ \item \underline{$\gamma \gg 1$}: $\tan \left( \frac{\alpha'}{2} \right) \approx \frac{1}{2 \gamma} \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)$.
+ \end{itemize}
+\end{obs}
+
+\begin{prop}[Arrossegament de Fresnel]
+ Sigui $u'$ la velocitat de la llum en aigua en repòs, i sigui $v$ la velocitat de l'aigua en un tub. Sigui $n := c/u' > 1$ l'índex de refracció. Aleshores, la velocitat d'un fotó vista des del SRI $S$ és:
+ \[ u = u' + \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)}_{K} v + O(v^2), \]
+ on anomenem $K$ el coeficient d'arrossegament.
+\end{prop}
+
+\section{Moviment uniformement accelerat}
+
+En aquesta secció, considerarem un espai unidimensional.
+
+\begin{defi}
+ En el context de la relativitat especial, un \underline{moviment uniformement accelerat} és un moviment on l'acceleració pròpia és constant.
+
+ L'\underline{acceleració pròpia} es defineix com l'acceleració de la partícula en el \underline{sistema comòbil} en cada instant de temps, és a dir, l'SRI que es mou a la mateixa velocitat que la partícula en aquest instant de temps.
+\end{defi}
+
+\begin{prop}
+ Sigui $\alpha = \frac{du'}{dt'}$ l'acceleració pròpia d'una partícula en moviment uniformement accelerat (on el sistema $S'$ és el sistema comòbil en cada instant).
+
+ Aleshores:
+ \[ \alpha = \gamma_u^3 \frac{du}{dt}. \]
+
+ A més, la trajectòria descrita per la partícula és la hipèrbola
+ \[ (x - x_0)^2 - c^2 (t - t_0)^2 = \frac{c^4}{\alpha^2} =: l^2, \]
+ que es pot parametritzar per:
+ \[ \begin{cases}
+ x^0 = ct_0 + l \sinh (c \tau / l ), \\
+ x = x_0 + l \cosh (c \tau / l ).
+ \end{cases} \]
+\end{prop}
+
+\begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \begin{axis}[
+ axis lines = middle,
+ xlabel = $X$,
+ xlabel style = {anchor = south west},
+ ylabel = $X^0$,
+ ylabel style = {anchor = north west},
+ xmin = 0,
+ xmax = 4,
+ ymin = 0,
+ ymax = 3,
+ ]
+ \addplot[color = green, thick, dotted]{x + 0.5};
+ \addplot[color = green, thick, dotted]{-x + 2.5};
+ \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({1 + 0.7*cosh(x)}, {1.5 + 0.7*sinh(x)});
+ \draw (axis cs:1, 1.5) -- node[below]{$l$} (axis cs:1.7, 1.5);
+ \end{axis}
+ \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{obs}
+ $l$ és la distància mínima entre el centre de la hipèrbola i la hipèrbola. Quant més gran és, menor és $\alpha$. I quant més petita és, major és $\alpha$.
+\end{obs}
+\begin{obs}
+ Paradoxa: perquè un regle no es deformi, la part de darrere ha d'accelerar més que la de davant (si acceleren iguals es deforma).
+\end{obs}
+
+\begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \begin{axis}[
+ axis lines = middle,
+ xlabel = $X$,
+ xlabel style = {anchor = south west},
+ ylabel = $X^0$,
+ ylabel style = {anchor = north west},
+ xmin = 0,
+ xmax = 1.4,
+ ymin = -1.4,
+ ymax = 1.4,
+ width = 7cm,
+ height = 7cm
+ ]
+ \addplot[color = green, thick, dotted]{x};
+ \addplot[color = green, thick, dotted]{-x};
+ \addplot[domain = -2:2, smooth, color = red] ({0.5*cosh(x)}, {0.5*sinh(x)});
+ \addplot[domain = -1:1, smooth, color = red] ({cosh(x)}, {sinh(x)});
+ \end{axis}
+ \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\section{Boost de Lorentz general}
+\begin{obs}
+ El boost de Lorentz general és:
+ \[ \begin{cases}
+ \displaystyle {x^0}' = \gamma(x^0 - \vec{\beta} \cdot \vec{r}), \\[0.5em]
+ \displaystyle \vec{r}' = \vec{r} + \vec{\beta} \left\{ \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{r}}{\beta^2} (\gamma - 1) - \gamma x^0 \right\}.
+ \end{cases} \]
+\end{obs}
+
+\section{Espai de Minkowski}
+\begin{defi}
+ L'espai de Minkowski $M^4$ és l'espai $\mathbb{R}^4$ amb la mètrica
+ \[ g := \tilde{\dif x}^0 \otimes \tilde{\dif x}^0 - \tilde{\dif x} \otimes \tilde{\dif x} - \tilde{\dif y} \otimes \tilde{\dif y} - \tilde{\dif z} \otimes \tilde{\dif z}. \]
+\end{defi}
+
+\begin{defi}
+ La \underline{quadrivelocitat} és un vector de l'espai de Minkowski que té components:
+ \[ U^\mu := \frac{\dif x^\mu}{\dif \tau} = \gamma (c, \vec{u}). \]
+\end{defi}
+
+\begin{defi}
+ La \underline{quadriacceleració} és un vector de l'espai de Minkowski amb components:
+ \[ A^\mu := \frac{\dif U^\mu}{\dif \tau} = \gamma \frac{\dif U^\mu}{\dif t} = \gamma (c \dot{\gamma}, \dot{\gamma} + \gamma \vec{a}), \]
+ on $\vec{a} := \frac{\dif \vec{u}}{\dif t}$.
+\end{defi}
+
+\begin{obs}
+ Observem que $\dot{\gamma} = \gamma^3 \vec{u} \cdot \vec{a}$, així que:
+ \[ A^\mu = 0 \iff \vec{a} = 0. \]
+\end{obs}
+
+\begin{prop}
+ L'acceleració pròpia és \[ \alpha^2 = \gamma^6 \frac{(\vec{u} \cdot \vec{a})^2}{c^2} + \gamma^4 a^2 = \gamma^6 \left[ a^2 - \frac{(\vec{u} \cross \vec{a})}{c^2} \right]. \]
+\end{prop}
+
+\begin{obs}
+ Considerem 2 casos específics:
+ \begin{itemize}
+ \item \underline{Acceleració lineal} ($\vec{u} \parallel \vec{a}$): $\alpha = \gamma^3 a$.
+ \item \underline{Acceleració circular} ($\vec{u} \perp \vec{a}$): $\alpha = \gamma^2 a$.
+ \end{itemize}
+\end{obs}
+
+\begin{prop}
+ $U \cdot A = 0$ (sota el producte escalar de l'espai de Minkowski).
+\end{prop}
+
+\begin{prop}[Producte escalar de quadrivelocitats]
+ Siguin $U_1$, $U_2$ dues quadrivelocitats (de 2 partícules en l'espai de Minkowski). Aleshores:
+ \[ \frac{U_1 \cdot U_2}{c^2} = \gamma = \cosh \phi. \]
+\end{prop}
+
+\section{Dinàmica relativista}
+Per desenvolupar la dinàmica relativista tenim en compte 2 postulats:
+\begin{enumerate}
+ \item Les lleis han de ser vàlides en tot SRI.
+ \item En el límit $\beta \ll 1$ hem de recuperar les lleis newtonianes.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Teoria de co\lgem isions}
+\begin{defi}
+ El \underline{quadrimoment} és:
+ \[ P^\mu := m \gamma (c, \vec{u}) = (p^0, \vec{p}), \]
+ on $\vec{p} = m \gamma \vec{u}$.
+\end{defi}
+
+\begin{prop}
+ $P \cdot P \equiv P^2$ és invariant.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+ El \underline{principi de conservació de l'energia} és:
+ \begin{enumerate}[a)]
+ \item $E = m \gamma c^2$,
+ \item $\sum^* P_r^\mu = 0$, on $\sum^* = \sum_r^{(in)} - \sum_r^{(out)}$.
+ \end{enumerate}
+\end{prop}
+
+\begin{col}
+ El quadrimoment per tant es pot expressar com:
+ \[ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right). \]
+\end{col}
+
+\begin{obs}
+ Quan $\gamma \approx 1$, $E \approx mc^2$.
+\end{obs}
+
+\begin{defi}
+ Definim l'\underline{energia cinètica} com:
+ \[ T := mc^2 (\gamma - 1). \]
+\end{defi}
+
+\subsection{Sistema aïllat de partícules}
+Sigui $P_{tot}^\mu = \sum_a P_a^\mu$. Aleshores, definim:
+\[ \vec{v}_{cm} := \frac{\vec{P}_{tot}}{P^0_{tot}} \]
+Si $P_{tot}^\mu = M_{tot} \cdot V_{cm}^\mu$, aleshores:
+\[ V_{cm}^\mu = \gamma_{cm} (c, \vec{v}_{cm}) \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^0}{\gamma_{cm} \cdot c}. \]
+
+En el SRI del CM $S'$, tindrem:
+\[ \left. \begin{array}{r}
+ V_{cm}^{\mu'} = (c, \vec{0}) \\
+ P_{tot}^{0'} = \sum_a m_a \gamma_a' c
+\end{array} \right\} \implies M_{tot} = \frac{P_{tot}^{0'}}{c} = \sum_a m_a \gamma_a'. \]
+
+\subsection{Boosts en una direcció arbitrària}
+
+\begin{prop}
+ L'energia d'una partícula de quadrimoment $P$ vista per un observador amb quadrivelocitat $V$ és:
+ \[ E' = V_\mu P^\mu = V \cdot P. \]
+\end{prop}
+
+\subsection{Partícules sense massa}
+\begin{defi}
+ El \underline{quadrimoment} d'una partícula sense massa és:
+ \[ K^\mu = \frac{E}{c} (1, \hat{k}), \]
+ on $\hat{k} := \vec{u}/c$. Observem $K^2 = 0$.
+\end{defi}
+
+\begin{prop}[Efecte Doppler]
+ Sigui $E = h \nu$ l'energia d'un fotó. Aleshores:
+ \[ \nu' = \gamma (1 - \vec{\beta} \cdot \hat{k}) \nu. \]
+\end{prop}
+
+\begin{prop}[Aberració en configuració estàndard]
+ Tenim:
+ \[ \hat{\beta} \hat{k}' = \frac{\hat{\beta} \hat{k} - \beta}{1 - \vec{\beta} \hat{k}}. \]
+\end{prop}
+
+\subsection{Efecte Compton}
+L'efecte Compton descriu col·lisions del tipus $e^- + \gamma \rightarrow e^- + \gamma$. Ens diu que la diferència de les longituds d'ona sortint i entrant és:
+\[ \Delta \lambda = (\lambda_2 - \lambda_1) = \underbrace{\frac{h}{m_e c}}_{\lambda_C} (1 - \cos \theta), \]
+on $\lambda_C$ s'anomena la longitud d'ona Compton.