fiesta: Add corrections to HW2
Change-Id: Ib7962797ed9fe8dc29def37a49979500e9b5560f
diff --git a/quad8/fiesta/homework/entrega2/main.tex b/quad8/fiesta/homework/entrega2/main.tex
index 712f0b7..2c273ec 100644
--- a/quad8/fiesta/homework/entrega2/main.tex
+++ b/quad8/fiesta/homework/entrega2/main.tex
@@ -14,6 +14,19 @@
\maketitle
+\ifshowcorrections
+{
+ \color{red}
+ \textbf{\textsc{Valoració personal:}} He fet un error de càcul a l'apartat
+ 2.a) (l'exponent de la $m$ està malament), així que em posaria un
+ \textbf{9.6}. Si a més l'apartat 1.a) estigués malament (el fet de considerar
+ el cas $D = \mu H$), em restaria 0.3 punts més. I si l'apartat 1.c) estigués malament, em restaria 1 punt sencer. Falta concretar això pel correu que he
+ enviat.
+
+ \textsc{Nota}: Les correccions són el text en color vermell. \\
+}
+\fi
+
\begin{Problem}
Considereu $n$ ions magnètics independents localitzats en els nusos d'una xarxa i amb un hamiltonià de la forma
\[ \mathcal{H} = D \sum_{i=1}^N S_i^2 - \mu H \sum_{i=1}^N S_i, \]
@@ -97,7 +110,7 @@
0. & (\text{si } D > \mu H)
\end{cases} \]
-Veiem que aquests valors coincideixen amb allò que hem vist a l'apartat a), exceptuant el cas en què $D = \mu H$. És possible que això sigui perquè la funció $\langle E$ no convergeix com a funció dins de l'espai de funcions contínues a troços, sinó com a part d'un espai com $L^2(\mathbb{R})$, on les funcions que prenen els mateix valors quasi per tot (és a dir, només difereixen en un conjunt de punts de mesura nul·la) es consideren idèntiques.
+Veiem que aquests valors coincideixen amb allò que hem vist a l'apartat a), exceptuant el cas en què $D = \mu H$. És possible que això sigui perquè la funció $\langle E \rangle$ no convergeix com a funció dins de l'espai de funcions contínues a troços, sinó com a part d'un espai com $L^2(\mathbb{R})$, on les funcions que prenen els mateix valors quasi per tot (és a dir, només difereixen en un conjunt de punts de mesura nul·la) es consideren idèntiques.
En el límit d'altes temperatures tenim:
\[ \lim_{\beta \to 0} \langle E \rangle = \frac{2}{3} ND. \]
@@ -128,9 +141,13 @@
\[ = \frac{1}{h^3} \int_{\mathbb{R}^3} d^3 \vec{p} e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} dz e^{-\beta V(x, y)} = \]
\[ = \frac{1}{h^3} \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^\frac{3}{2} L \int_{\mathbb{R}^2} dx \, dy \, e^{-\beta \frac{a}{2} x^2 -\beta \frac{b}{2} (y - y_0)^2} = \]
\[ = \frac{L}{h^3} \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^\frac{3}{2} \sqrt{\frac{2 \pi}{\beta a}} \sqrt{\frac{2 \pi}{\beta b}} = \]
-\[ = \frac{L}{h^3} \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^\frac{5}{2} \left( \frac{1}{ab} \right)^{\frac{1}{2}}. \]
+\[ = \frac{L}{h^3} \left( \frac{2 \pi m^\correction{\frac{3}{5}}}{\beta} \right)^\frac{5}{2} \left( \frac{1}{ab} \right)^{\frac{1}{2}}. \]
Com les partícules del gas són indistingibles, obtenim:
-\[ Z(N, L, T) = \frac{1}{N!} [Z_1]^N = \frac{1}{N!} \left( \frac{L}{h^3} \right)^N \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^\frac{5N}{2} \left( \frac{1}{ab} \right)^{\frac{N}{2}}. \]
+\[ Z(N, L, T) = \frac{1}{N!} [Z_1]^N = \frac{1}{N!} \left( \frac{L}{h^3} \right)^N \left( \frac{2 \pi m^\correction{\frac{3}{5}}}{\beta} \right)^\frac{5N}{2} \left( \frac{1}{ab} \right)^{\frac{N}{2}}. \]
+
+\correction{De fet, una expressió alternativa de la funció de partició canònica d'una partícula del gas és:
+\[ Z = \frac{L}{\lambda^3} \frac{2 \pi}{\beta} \left( \frac{1}{ab} \right)^\frac{1}{2}, \]
+on $\lambda = \sqrt{h^2 / (2 \pi m K_B T)}$ és la longitud d'ona tèrmica.}
\textbf{Solució de b):}
\[ F = - K_B T \log(Z) = N K_B T \log(N!) - N K_B T \log(Z_1) \implies \]
@@ -142,6 +159,9 @@
\[ S = - \left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_{N, L} = N K_B \left( - \log(N!) + \log(Z_1) - T \left( \frac{\partial \log(Z_1)}{\partial T} \right)_{N, L} \right) = \]
\[ = N K_B \left( \log(\frac{Z_1}{N!}) + \frac{5}{2} \right). \]
+\correction{Alternativament també podem escriure:
+\[ S = K_B \log Z + \frac{5}{2} N K_B. \]}
+
\textbf{Solució de d):} \\
Si $\Delta S = 0$, aleshores necessàriament les funcions de partició inicial i final seran iguals, degut a l'expressió de l'entropia que hem trobat a l'apartat anterior. Així doncs:
\[ \frac{L}{h^3} \left( \frac{2 \pi m}{\beta_i} \right)^\frac{5}{2} \left( \frac{1}{a b_i} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{L}{h^3} \left( \frac{2 \pi m}{\beta_f} \right)^\frac{5}{2} \left( \frac{1}{a b_f} \right)^{\frac{1}{2}} \implies \]