\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[catalan]{babel}
\input{../../../hw_preamble.tex}

\usepackage{biblatex}
\addbibresource{referencies.bib}

\title{Entrega 2 de problemes\\Electrodinàmica}
\author{Adrià Vilanova Martínez}
\date{29 de setembre, 2021}

\showcorrectionsfalse % Change "true" to "false" in order to show corrections as
                      % if they weren't corrections (in black instead of red).

\begin{document}

\maketitle

\begin{FreeProblem}
  \textbf{Problema I.2.} Un feix de mesons $K^+$ a velocitat constant $(\sqrt{3}/2)c$ atravessa dos detectors separats per $\SI{9}{\meter}$. Aquestes partícules són inestables i decauen durant el temps de vol, de manera que de 1000 partícules que passen pel primer detector, tant sols 250 arriben al segon. Determineu la constant de decaiment $\lambda$ del $K^+$ en el seu SRI en repòs.

  Indicació: si $N$ és el nombre de partícules inestables, la llei de decaiment és $dN = - \lambda N \, dt$, on $t$ és el temps en el SRI d'interès.
\end{FreeProblem}

\Solution
Anomenem $\mathbf{S}$ el SRI del laboratori, on els 2 detectors estan en repòs a distància $\Delta x = \SI{9}{m}$, i $\mathbf{S}'$ el SRI d'un dels mesons.

Aleshores, hem de solucionar el següent problema:
\[ \begin{cases}
  \frac{dN}{dt} = - \lambda N, \\
  N(0) = 1000, \\
  N(\Delta t') = 250,
\end{cases} \]
on $\Delta t'$ és la diferència de temps entre els dos esdeveniments (detecció en el primer detector i en el segon) en el sistema de referència $\mathbf{S}'$ pels mesons que no ha decaigut.

La solució general de l'EDO es pot trobar fàcilment mitjançant separació de variables:
\[ \int \frac{1}{N} \, dN = - \int \lambda \, dt \implies \log(N) = - \lambda t + \tilde{C} \implies \]
\[ \implies N(t) = C e^{- \lambda t}. \]

Imposem la primera condició, i obtenim:
\[ 1000 = N(0) = C e^0 = C \implies C = 1000. \]

Per imposar la segona condició, hem de trobar el valor de $\Delta t'$. Això ho podem fer mitjançant la transformació de Lorentz, ja que la situació és de 2 SRI en configuració estàndard. Sabem que els dos sistemes de referència s'estan movent a una velocitat relativa de $v = (\sqrt{3}/2)c$. Aplicant la transformació de Lorentz obtenim:
\[ \begin{pmatrix}
  \Delta {x^0}' \\
  \Delta x'
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  \gamma & - \beta \gamma \\
  - \beta \gamma & \gamma
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  \Delta x^0 \\
  \Delta x
\end{pmatrix} \implies \]
\[ \implies \Delta t' = \frac{1}{c} \Delta {x^0}' = \frac{1}{c} \gamma (\Delta x^0 - \beta \Delta x) \notate[X]{{}={}}{1.5}{\Delta x^0 = c \Delta t = c \frac{\Delta x}{v}} \frac{\gamma \Delta x}{c} \left( \frac{c}{v} - \beta \right) = \]
\[ = \frac{\gamma \Delta x}{c} \left( \beta^{-1} - \beta \right) = \frac{\gamma \Delta x}{c \beta} (1 - \beta^2) = \frac{\gamma \Delta x}{c \beta} \frac{1}{\gamma^2} = \frac{\Delta x}{c \gamma \beta}. \]

Aleshores, imposant la segona condició:
\[ 250 = N(\Delta t') = C e^{- \lambda \Delta t'} \implies \]
\[ \implies \log(250) = \log(C) - \lambda \Delta t' \implies \]
\[ \implies \lambda = \log(\frac{C}{250}) \frac{1}{\Delta t'} = \log(4) \frac{c \gamma \beta}{\Delta x} = \sqrt{3} \log(4) \frac{c}{\SI{9}{\meter}} \approx \SI{3.48e7}{\per\second}. \]

Això ens indica que el temps de vida mig d'un mesó és de $\tau = \lambda^{-1} = \SI{2.88e-8}{\second}$. Donat que el temps mig de vida d'un pió és de $\SI{2.6033(5)e-8}{\second}$,\cite{2008583} és probable que aquests mesons siguin pions, ja que és el tipus de mesó amb temps mig de vida més proper al que hem obtingut. El fet que el nostre nombre no està dins de l'interval de confiança pot ser degut al fet que a l'experiment hem considerat un nombre reduït de mesons ($n = 1000$).

\printbibliography

\end{document}