Add electromagnetism summary
It contains a summary of topics 1 through 4.
Change-Id: Id41a440f77d5b3c2ae52a10c3db1b5314bc8d777
diff --git a/quad8/electro/resum/tema3.tex b/quad8/electro/resum/tema3.tex
new file mode 100644
index 0000000..d2f6d00
--- /dev/null
+++ b/quad8/electro/resum/tema3.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+% !TEX root = main.tex
+\chapter{Electrostàtica en conductors}
+
+\section{Introducció}
+
+\begin{prop}
+ Propietats d'un conductor.
+ \begin{enumerate}
+ \item A dins del conductor $\vec{E} = 0$.
+
+ \item A dins del conductor $V = \text{constant}$.
+
+ \item Un conductor no té densitat volúmica de càrrega, però sí densitat superficial de càrrega a la seva vora:
+ \[ Q = \int_S \sigma \dif s. \]
+ \end{enumerate}
+\end{prop}
+
+\begin{prop}[Teorema de Coulomb]
+ En punts exteriors suficientment propers a la superfície, tenim que la component normal del vector desplaçament és:
+ \[ D_n = \sigma. \]
+ Si el medi exterior és lineal i isòtrop, aleshores el vector desplaçament és perpendicular a la interfície i per tant
+ \[ \vec{D} = \sigma \vec{n} \implies \vec{E} = \frac{\sigma}{\varepsilon} \vec{n}. \]
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+ La pressió electrostàtica en un punt exterior suficientment proper a la superfície és:
+ \[ P = \frac{\dif F}{\dif S} = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon}. \]
+\end{prop}
+
+\section{Problema fonamental de l'equilibri electrostàtic en un conductor, i capacitat}
+
+En aquesta secció considerarem un únic conductor envoltat per un medi LIH (lineal, isòtrop i homogeni) indefinit.
+
+\begin{defi}
+ La capacitat d'un conductor és:
+ \[ C := \frac{Q}{V}. \]
+\end{defi}
+
+\begin{prop}
+ Si coneixem el potencial del conductor $V$, aleshores el potencial en tot punt de l'espai queda unívocament determinat resolent el problema de Dirichlet
+ \[ \begin{cases}
+ \lapl V(P) = 0, \\
+ V_S = V.
+ \end{cases} \]
+ Un cop trobat el potencial, podem calcular:
+ \[ \begin{cases}
+ \displaystyle \sigma = - \varepsilon \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_S, \\[2ex]
+ \displaystyle Q = - \varepsilon \int_S \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_S \dif s.
+ \end{cases} \]
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+ Si coneixem la càrrega del conductor $Q$, aleshores podem resoldre el problema de Dirichlet pel cas en què $V = V_0 = 1$, i per la proposició anterior obtindrem $V_0(P)$ i $Q_0 = C$, a partir dels quals podrem calcular:
+ \[ \begin{cases}
+ \displaystyle V = \frac{Q}{C} \\
+ \displaystyle V(P) = \frac{Q}{C} V_0(P) \\
+ \displaystyle \sigma = \frac{Q}{C} \sigma_0
+ \end{cases} \]
+\end{prop}
+
+\section{Sistemes de conductors}
+
+\begin{prop}
+ Si tenim un sistema d'$n$ conductors, els quals estan a potencials $\{ V_i \}_i$ i tenen càrregues totals $\{ Q_i \}_i$, tenim que:
+ \[ \begin{cases}
+ \displaystyle V_i = \sum_{j = 1}^n B_{ij} Q_j, \\
+ \displaystyle Q_i = \sum_{j = 1}^n A_{ij} V_j,
+ \end{cases} \]
+ on $A_{ii}$ s'anomenen coeficients de capacitat, $A_{ij}$ ($i \neq j$) coeficients de capacitat i $B_{ij}$ coeficients de potencial.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}[Propietats dels coeficients de capacitat i influència.]
+ \[ \begin{cases}
+ a_ii > 0, \\
+ a_{ij} \leq 0 \quad \forall i \neq j, \\
+ a_{ij} = a_{ji}, \\
+ a_{ii} \geq - \sum_{\substack{j = 1 \\ i \neq j}^N a_{ji}},
+ \end{cases} \]
+ on la igualtat de la segona equació es dona quan no hi ha influència entre els conductors $i$ i $j$, i la igualtat de la quarta representa la influència total.
+\end{prop}
+
+\section{Condensadors}
+
+\begin{defi}
+ Un condensador és un sistema de dos conductors amb la mateixa càrrega però de signe oposat.
+
+ La capacitat d'un condensador es defineix com:
+ \[ C := \frac{Q_1}{V_1 - V_2}. \]
+\end{defi}
+
+\begin{prop}[Associació de condensadors]
+ Si $n$ condensadors estan connectats en sèrie, aleshores la capacitat del conjunt és:
+ \[ \frac{1}{C} = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{C_i}. \]
+
+ D'altra manera, si $n$ condensadors estan connectats en paral·lel, aleshores:
+ \[ C = \sum_{i = 1}^n C_i. \]
+\end{prop}