\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[catalan]{babel}
\input{../../../hw_preamble.tex}

\usepackage{biblatex}
\addbibresource{referencies.bib}

\title{Entrega 7 de problemes\\Electrodinàmica}
\author{Adrià Vilanova Martínez}
\date{26 d'octubre, 2021}

\showcorrectionsfalse % Change "true" to "false" in order to show corrections as
                      % if they weren't corrections (in black instead of red).

\newcommand{\X}{\mathbf{X}}
\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}

\begin{document}

\maketitle

\begin{FreeProblem}
  \textbf{Problema III.6.c)} Trobeu la solució general de les equacions del moviment per a una partícula de càrrega $q$ i massa $m$ en camps electromagnètics $\vec{E}$, $\vec{B}$ uniformes, amb $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$ i $\vec{E}^2 = \vec{B}^2$.
\end{FreeProblem}

Comencem suposant que com els camps elecromagnètics són perpendiculars entre ells, sense pèrdua de generalitat fent una rotació adequada del sistema de referència tenim:
\[ \vec{E} = E \hat{j}, \quad \vec{B} = B \hat{k}, \]
amb $E, B > 0$.

Per tant, el tensor de camp electromagnètic és:
\[ F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
  0 & 0 & -E & 0 \\
  0 & 0 & -B & 0 \\
  E & B & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}. \]

A més, degut al fet que $\vec{E}^2 = \vec{B}^2$ es desprén que $E = B$.

Usem l'equació del moviment
\[ \frac{dP^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{\mu \nu} U_\nu, \]
d'on obtenim:
\begin{equation}
  \frac{dP^0}{d\tau} = \frac{q}{c} E U^y,
  \label{eom0}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{dP^x}{d\tau} = \frac{q}{c} B U^y = \frac{q}{c} E U^y,
  \label{eom1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{dP^y}{d\tau} = \frac{q}{c} E (U^0 - U^x),
  \label{eom2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{dP^z}{d\tau} = 0 \implies \boxed{P^z = P_0^z},
  \label{eom3}
\end{equation}

Ara observem que, tal com s'indica a l'enunciat, de \eqref{eom0} i \eqref{eom1} obtenim:
\[ \frac{d(P^0 - P^x)}{d\tau} = 0 \implies \alpha := P^0 - P^x \text{ és constant del moviment.} \]

Desenvolupant \eqref{eom2}:
\[ \frac{d P^y}{d \tau} = \frac{q}{c} E (U^0 - U^x) = \frac{qE}{mc} (P^0 - P^x) = \frac{qE}{mc} \alpha. \]
Definim $\eta := \frac{qE}{mc}$. Aleshores, resolent l'equació obtenim:
\[ \boxed{P^y = P_0^y + \eta \alpha \tau}. \]

Desenvolupant ara \eqref{eom0}:
\[ \frac{dP^0}{d \tau} = \frac{qE}{mc} P^y = \eta P^y = P^y_0 \eta + \eta^2 \alpha \tau \implies \]
\[ \implies \boxed{P^0 = P^0_0 + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2}. \]

Amb un desenvolupament anàleg per \eqref{eom1} (donat que són la mateixa equació en el fons):
\[ \boxed{P^x = P_0^x + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2}. \]

Utilitzem ara el fet que:
\[ \frac{dx^\mu}{d \tau} = U^\mu = \frac{1}{m} P^\mu = \frac{1}{m} \begin{pmatrix}
  P^0_0 + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
  P_0^x + P_0^y \eta \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
  P_0^y + \eta \alpha \tau \\
  P_0^z
\end{pmatrix}, \]
i integrant aquesta expressió trobem la parametrització de la trajectòria de la partícula en temps del temps propi:
\[ \boxed{x^\mu(\tau) = x^\mu_0 + \frac{1}{m} \begin{pmatrix}
  P^0_0 \tau + \frac{1}{2} P_0^y \eta \tau^2 + \frac{1}{6} \eta \alpha \tau^3 \\
  P_0^x \tau + \frac{1}{2} P_0^y \eta \tau^2 + \frac{1}{6} \eta \alpha \tau^3 \\
  P_0^y \tau + \frac{1}{2} \eta \alpha \tau^2 \\
  P_0^z \tau
\end{pmatrix}}, \]
on $x^\mu_0$ és la posició inicial de la partícula en l'espai-temps, i $P^\mu_0$ és el seu quadrimoment inicial.

\end{document}