\documentclass[11pt,a4paper,dvipsnames]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{parskip}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{geometry}
\usepackage{physics}
\usepackage{systeme,mathtools}
\usepackage[usestackEOL]{stackengine}
\usepackage{scalerel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tikz}
\usepackage[labelfont=bf]{caption}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{cancel}
\usepackage{fbox}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
\usetikzlibrary{positioning}
\geometry{top=25mm}

% Plantilla per l'interior d'un conjunt
\newcommand{\interior}[1]{%
  {\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}%
}

% Plantilles del notate
\def\myupbracefill#1{\rotatebox{90}{\stretchto{\{}{#1}}}
\def\rlwd{.5pt}
\newcommand\notate[4][B]{%
  \if B#1\else\def\myupbracefill##1{}\fi%
  \def\useanchorwidth{T}%
  \setbox0=\hbox{$\displaystyle#2$}%
  \def\stackalignment{c}\stackunder[-6pt]{%
    \def\stackalignment{c}\stackunder[-1.5pt]{%
      \stackunder[2pt]{\strut $\displaystyle#2$}{\myupbracefill{\wd0}}}{%
    \rule{\rlwd}{#3\baselineskip}}}{%
  \strut\kern9pt$\rightarrow$\smash{\rlap{$~#4$}}}%
}

% Plantilles dels boxes
%%%% START DEFINING LBOXED, RBOXED %%%%
\newcommand{\lboxed}[1]{\fbox[blt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}
\newcommand{\rboxed}[1]{\fbox[brt]{\mathsurround=0pt$\displaystyle#1$}}

% Plantilles pels problemes
\newcounter{problem}
\newcounter{solution}

\newcommand{\green}[1]{\textbf{\color{ForestGreen} #1}}

\newcommand{\separator}{\noindent\hfil\rule{0.75\textwidth}{0.4pt}\hfil}

\newenvironment{Problema}{%
    \stepcounter{problem}%
    \begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
        \textbf{Problema \theproblem.}~%
        \setcounter{solution}{0}}{%
    \end{tcolorbox}
}

\newenvironment{FreeProblema}{%
    \begin{tcolorbox}[colback=cyan!10!white,parbox=false]
        \setcounter{solution}{0}}{%
    \end{tcolorbox}
}

\newcommand\Solucio{%
    \textbf{Solució:}\\%
}

\newcommand\Context{%
    \textbf{Context:}\\%
}

\newcommand\Lema{%
    \textbf{Lema:} %
}

\newcommand\Proposicio{%
    \textbf{Proposició:} %
}

\newcommand\Teorema{%
    \textbf{Teorema:} %
}

\newcommand\Demostracio{%
    \textbf{Demostració:}\\%
}

\newcommand\QED{\square}

\newcommand\ASolution{%
    \stepcounter{solution}%
    \textbf{Solució \thesolution:}\\%
}


\newcommand{\asection}[2]{
\setcounter{section}{#1}
\addtocounter{section}{-1}
\section{#2}
}

% Comandes per les formes fonamentals:
\DeclareMathOperator{\I}{\mathrm{I}}
\DeclareMathOperator{\II}{\mathrm{I\!I}}

\title{Exercici 3.11\\Geometria Diferencial}
\author{Adrià Vilanova Martínez}
\date{15 de març de 2021}

\begin{document}

\maketitle

\begin{FreeProblema}
  \textbf{Problema 3.11.} Calculeu la segona forma fonamental, l'aplicació de Weingarten, les curvatures principals, les direccions principals i assimptòtiques, les curvatures mitja $H$ i gaussiana $K$, i identifiqueu les línies de curvatura i assimptòtiques si podeu, en les superfícies següents:

  \begin{enumerate}[a)]
    \item Cilindre: $\varphi(u, v) = (a \cos u, a \sin u, v)$.
    \item Helicoide: $\varphi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, bv)$.
    \item Catenoide: $\varphi(u, v) = a (\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u)$.
  \end{enumerate}
\end{FreeProblema}

\Solucio

Per calcular la segona forma fonamental de les dues superfícies, ho farem mitjançant la següent expressió: \[ \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  \vec{n} \cdot \varphi_{uu} & \vec{n} \cdot \varphi_{uv} \\
  \vec{n} \cdot \varphi_{vu} & \vec{n} \cdot \varphi_{vv}
\end{pmatrix} \]

Així doncs, necessitem calcular d'avantmà les derivades segones de les parametritzacions i l'aplicació de Gauss (vector normal unitari) que, degut al fet que les superfícies ens venen donades en forma de parametrització, es pot calcular com: \[ \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\norm{\vec{N} (u, v)}} \vec{N} (u, v) \] on $\vec{N}(u, v) = \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v)$.

Fem aquests càlculs per cadascuna de les superfícies:

\textbf{Cilindre:}
\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
  \varphi_u (u, v) = a (-\sin u, \cos u, 0) \implies \begin{cases}
    \varphi_{uu} (u, v) = a (-\cos u, -\sin u, 0) \\
    \varphi_{uv} (u, v) = (0, 0, 0)
  \end{cases} \\
  \varphi_v (u, v) = (0, 0, 1) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (0, 0, 0) \\
  \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a (- \sin u, \cos u, 0) \cross (0, 0, 1) = a (\cos u, \sin u, 0) \implies \\
  \implies \vec{n}(u, v) = \frac{a}{a} (\cos u, \sin u, 0) = (\cos u, \sin u, 0)
\end{array}\right\} \implies \]
\[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  -a & 0 \\
  0 & 0
\end{pmatrix} \]

\textbf{Helicoide:}
\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
  \varphi_u (u, v) = (\cos v, \sin v, 0) \implies \begin{cases}
    \varphi_{uu} (u, v) = (0, 0, 0) \\
    \varphi_{uv} (u, v) = (- \sin v, \cos v, 0)
  \end{cases} \\
  \varphi_v (u, v) = (-u \sin v, u \cos v, b) \implies \varphi_{vv} (u, v) = (-u \cos v, -u \sin v, 0) \\
  \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = (b \sin v, -b \cos v, u) \implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} (b \sin v, -b \cos v, u)
\end{array}\right\} \implies \]
\[ \implies \II_{(u, v)} = \frac{1}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
  0 & -b \\
  -b & 0
\end{pmatrix} \]

\textbf{Catenoide:}
\[ \def\arraystretch{1.5} \left. \begin{array}{c}
  \varphi_u (u, v) = a (\sinh u \cos v, \sinh u \sin v, 1) \implies \begin{cases}
    \varphi_{uu} (u, v) = a \cosh u (\cos v, \sin v, 0) \\
    \varphi_{uv} (u, v) = a \sinh u (- \sin v, \cos v, 0)
  \end{cases} \\
  \varphi_v (u, v) = a \cosh u (- \sin v, \cos v, 0) \implies \varphi_{vv} (u, v) = a \cosh u (- \cos v, - \sin v, 0) \\
  \varphi_u(u, v) \cross \varphi_v(u, v) = a^2 \cosh u (- \cos v, - \sin v, \sinh u) \implies \\
  \implies \vec{n}(u, v) = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 u}} (- \cos v, - \sin v, \sinh u) = \frac{1}{\cosh u} (- \cos v, - \sin v, \sinh u)
\end{array}\right\} \implies \]
\[ \implies \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  -a & 0 \\
  0 & a
\end{pmatrix} \]

\hrulefill

Ara calcularem la primera forma fonamental de cada superfície, ja que ens farà falta per calcular les diverses curvatures: \[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  \varphi_u \cdot \varphi_u & \varphi_u \cdot \varphi_v \\
  \varphi_v \cdot \varphi_u & \varphi_v \cdot \varphi_v
\end{pmatrix} \]

\textbf{Cilindre:}
\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  a^2 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  -\frac{1}{a} & 0 \\
  0 & 0
\end{pmatrix} \]

\textbf{Helicoide:}
\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & u^2 + b^2
\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = - \frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}} \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  \frac{1}{b^2 + u^2} & 0
\end{pmatrix} \]

\textbf{Catenoide:}
\[ \I_{(u, v)} = \begin{pmatrix}
  a^2 \cosh^2 u & 0 \\
  0 & a^2 \cosh^2 u
\end{pmatrix} \implies \Sigma_{(u, v)} = \I_{(u, v)}^{-1} \II_{(u, v)} = \frac{1}{a \cosh^2 u} \begin{pmatrix}
  -1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} \]

\hrulefill

Les curvatures principals són els VAPs de les diferents matrius $\Sigma_{(u, v)}$ de l'aplicació de Weingarten, i les direccions principals són els VEPs corresponents. Aleshores, les curvatures principals del cilindre són $-\frac{1}{a}$ i $0$ amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment, ja que la matriu ja és diagonal i la matriu de l'aplicació està en base ${\varphi_u, \varphi_v}$.

Pel mateix motiu, les curvatures principals del catenoide són $\frac{-1}{a \cosh^2 u}$ o $\frac{1}{a \cosh^2 u}$, amb direccions principals $[\varphi_u]$ i $[\varphi_v]$ corresponentment.

En quant a l'helicoide, es pot comprovar que una matriu del tipus $\begin{pmatrix}
  0 & a \\
  b & 0
\end{pmatrix}$ amb $a, b < 0$ té VAPs $\sqrt{ab}$, $-\sqrt{ab}$ i els corresponents VEPs $(\sqrt{-a}, \sqrt{-b})$ i $(\sqrt{-a}, -\sqrt{-b})$. Per tant, les curvatures principals són $\frac{b}{b^2 + u^2}$ i $\frac{-b}{b^2 + u^2}$ i les direccions principals corresponents són $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, \sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$ i $\left[\left(\sqrt{\frac{b}{\sqrt{b^2 + u^2}}}, -\sqrt{\frac{b}{(b^2 + u^2)^\frac{3}{2}}}\right)\right]$.

\hrulefill

La curvatura mitjana ve definida per la següent expressió: \[ H(p) = \frac{K_1 + K_2}{2} \] on $K_1$, $K_2$ són les curvatures principals.

D'aquesta definició és fàcil veure que la curvatura mitjana pel cilindre és $-\frac{1}{2a}$, i que pel catenoide i l'helicoide és nul·la.

Per una altra banda, la curvatura gaussiana té la següent expressió: \[ K(p) = K_1 \cdot K_2 \]

Així doncs, la curvatura gaussiana del cilindre és nul·la, la del catenoide és $\frac{-1}{a^2 \cosh^4 u}$ i la de l'helicoide és $\frac{-b^2}{(b^2 + u^2)^2}$.

\hrulefill

Una línia de curvatura és una corba $\gamma \subset S$ tal que $T_p \gamma$ és una direcció principal de curvatura de $S$ en $P$ per tot $p$.

Aleshores, en el cas del cilindre i el catenoide, on les direccions principals de curvatura són $\varphi_u$, $\varphi_v$, està clar que les línies de curvatura són els meridians (les corbes on es deixa la $u$ fixa) i els paral·lels (les corbes on es deixa la $v$ fixa).

\hrulefill

\textit{\textbf{Nota:} el codi \LaTeX de la resolució d'aquest problema es pot trobar a \url{https://gerrit.avm99963.com/plugins/gitiles/edu/college-misc/+/master/quad8/gd/entregables/p3_11/}. S'accepten tot tipus de suggerències, correccions, comentaris, etc. :)}

\textit{Una cosa a millorar és el fet que falta afegir la part relativa a les direccions/línies assimptòtiques. Tinc pensat afegir-ho quan surti aquesta definició a teoria o problemes. A part, també faltaria veure quines són les línies de curvatura pel cas de l'helicoide.}

\end{document}